高一数学空间点、直线、平面之间的位置关系

83　空间点直线平面之间的位置关系-2-知识梳理双基自测23416571平面的基本性质公理1如果一条直线上的　　　　在一个平面内那么这条直线在此平面内 公理2过　　　　　　　　　　　　的三点有且只有一个平面 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点那么它们有且只有　　　　过该点的公共直线 两点　不在一条直线上　一条知识梳理-3-知识梳理双基自测23416572直线与直线的位置关系平行　相交　　任何2异面直线所成的角①定义设ab是两条异面直线经过空间任一点O作直线a∥ab∥b把a与b所成的锐角或直角叫做异面直线ab所成的角或夹角知识梳理-4-知识梳理双基自测23416573公理4平行于　　　　　　　　　的两条直线互相平行 同一条直线知识梳理-5-知识梳理双基自测23416574定理空间中如果两个角的两边分别对应平行那么这两个角　　　　　　　　　 相等或互补知识梳理-6-知识梳理双基自测23416575直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有　　　　　　　　　　　　　　　　三种情况 平行相交在平面内知识梳理-7-知识梳理双基自测23416576平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有　　　　　　　　两种情况 平行　　相交知识梳理-8-知识梳理双基自测23416577常用结论1唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直2异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面

直线知识梳理-9-知识梳理双基自测23416573确定平面的三个推论①推论1经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面②推论2经过两条相交直线有且只有一个平面③推论3经过两条平行直线有且只有一个平面4异面直线易误解为分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线实质上两异面直线不能确定任何一个平面因此异面直线既不平行也不相交知识梳理2-10-知识梳理双基自测34151下列结论正确的打√错误的打×1两个不重合的平面只能把空间分成四个部分　　2两个平面αβ有一个公共点A就说αβ相交于A点记作α∩βA　　3已知ab是异面直线直线c平行于直线a那么c与b不可能是平行直线　　4如果两个不重合的平面αβ有一条公共直线a那么就说平面αβ相交并记作α∩βa　　5若ab是两条直线αβ是两个平面且a⊂αb⊂β则ab是异面直线　　 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 答案关闭1×　2×　3√　4√　5×知识梳理-11-知识梳理双基自测234152如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中EF分别为BCBB1的中点则下列直线与直线EF相交的是　　A直线AA1B直线A1B1C直线A1D1D直线B1C1答案解析解析关闭只有B1C1与EF在同一平面内是相交的选项ABC中直线与EF都是异面直线故选D答案解析关闭D知识梳理-12-知识梳理双基自测234153已知lm是两条不同的直线αβ是两个不同的平面下列命题①若l⊂αm⊂αl∥βm∥β则α∥β②若l⊂αl∥βα∩βm则l∥m③若α∥βl∥α则l∥β④若l⊥αm∥lα∥β则m⊥β其中真命题有　　　　　写出所有真命题的序号 答案答案关闭②④　知识梳理-

13-知识梳理双基自测234154设P表示一个点ab表示两条直线αβ表示两个平面给出下列四个命题其中正确的命题是　　　　　填序号 ①P∈aP∈α⇒a⊂α②a∩bPb⊂β⇒a⊂β③a∥ba⊂αP∈bP∈α⇒b⊂α④α∩βbP∈αP∈β⇒P∈b答案答案关闭③④知识梳理-14-知识梳理双基自测234155教材探究改编P46如图在三棱锥A-BCD中EFGH分别是棱ABBCCDDA的中点则1当ACBD满足条件　　　　　　　时四边形EFGH为菱形 2当ACBD满足条件　　　　　　　　　　　时四边形EFGH是正方形 答案解析解析关闭答案解析关闭知识梳理-15-考点1考点2考点3例1如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中EF分别是ABAA1的中点求证1ECD1F四点共面2CED1FDA三线共点思考如何利用平面的基本性质证明点共线和线共点-16-考点1考点2考点3证明1如图连接EFCD1A1B∵EF分别是ABAA1的中点∴EF∥A1B又A1B∥CD1∴EF∥CD1∴ECD1F四点共面2∵EF∥CD1EFltCD1∴CE与D1F必相交设交点为P则由P∈CECE⊂平面ABCD得P∈平面ABCD同理P∈平面ADD1A1又平面ABCD∩平面ADD1A1DA∴P∈直线DA∴CED1FDA三线共点-17-考点1考点2考点3解题心得1点线共面问题的证明方法1纳入平面法先确定一个平面再证有关点线在此平面内2辅助平面法先证有关点线确定平面α再证其余点线确定平面β最后证明平面αβ重合2证明多线共点问题常用的方法是先证其中两条直线交于一点再证交点在第三条直线上证交

点在第三条直线上时第三条直线应为前两条直线所在平面的交线可以利用公理3证明-18-考点1考点2考点3对点训练1如图在空间四边形ABCD中EF分别是ABAD的中点GH分别在BCCD上且BG∶GCDH∶HC1∶21求证EFGH四点共面2设EG与FH交于点P求证PAC三点共线-19-考点1考点2考点3证明1∵EF分别为ABAD的中点∴EF∥BD∴GH∥BD∴EF∥GH∴EFGH四点共面2∵EG∩FHPP∈EGEG⊂平面ABC∴P∈平面ABC同理P∈平面ADC∴P为平面ABC与平面ADC的公共点又平面ABC∩平面ADCAC∴P∈AC∴PAC三点共线-20-考点1考点2考点3例21若直线l1和l2是异面直线l1在平面α内l2在平面β内l是平面α与平面β的交线则下列命题正确的是　　Al与l1l2都不相交Bl与l1l2都相交Cl至多与l1l2中的一条相交Dl至少与l1l2中的一条相交22017全国Ⅱ理10已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠ABC120°AB2BCCC11则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为　　思考如何借助空间图形确定两直线位置关系答案答案关闭1D　2C-21-考点1考点2考点3解析1l1与l在平面α内l2与l在平面β内若l1l2与l都不相交则l1∥ll2∥l根据直线平行的传递性则l1∥l2与已知矛盾故l至少与l1l2中的一条相交-22-考点1考点2考点32方法一　如图取ABBB1B1C1的中点MNP连接MNNPPM可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角-23-考点1考点2考点3方法二　把三棱柱ABC-A1B

1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1如图连接C1DBD则AB1与BC1所成的角为∠BC1D-24-考点1考点2考点3解题心得解题时一定要注意选项中的重要字眼至少至多否则很容易出现错误解决空间点线面的位置关系这类问题时一定要万分小心除了作理论方面的推导论证外利用特殊图形进行检验也可作必要的合情推理-25-考点1考点2考点3对点训练21平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点Aα∥平面CB1D1α∩平面ABCDmα∩平面ABB1A1n则mn所成角的正弦值为　　A-26-考点1考点2考点32如图GNMH分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点则直线GHMN是异面直线的图形有　　　　　填上所有正确答案的序号 ②④-27-考点1考点2考点3解析1方法一∵α∥平面CB1D1平面ABCD∥平面A1B1C1D1α∩平面ABCDm平面CB1D1∩平面A1B1C1D1B1D1∴m∥B1D1∵α∥平面CB1D1平面ABB1A1∥平面DCC1D1α∩平面ABB1A1n平面CB1D1∩平面DCC1D1CD1∴n∥CD1∴B1D1CD1所成的角等于mn所成的角即∠B1D1C等于mn所成的角∵△B1D1C为正三角形∴∠B1D1C60°-28-考点1考点2考点3方法二由题意画出图形如图将正方体ABCD-A1B1C1D1平移补形为两个全等的正方体如图易证平面AEF∥平面CB1D1所以平面AEF即为平面αm即为AEn即为AF所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角因为△AEF是正三角形所以∠EAF60°故mn所成角的正弦值为-29-考点1考点2考点32题图①

中直线GH∥MN题图②中GHN三点共面但M∉平面GHN因此直线GH与MN异面题图③中连接MG易知GM∥HN因此GH与MN共面题图④中GMN共面但H∉平面GMN因此GH与MN异面所以题图②④中GH与MN异面-30-考点1考点2考点3例3设直线m与平面α相交但不垂直则下列说法中正确的是　　A在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D与直线m平行的平面不可能与平面α垂直思考如何借助空间图形确定线面位置关系答案解析解析关闭答案解析关闭-31-考点1考点2考点3解题心得解决这类问题的关键就是熟悉直线与直线直线与平面平面与平面的各种位置关系及相应的公理定理归纳整理平面几何中成立但立体几何中不成立的命题并在解题过程中注意避免掉入由此设下的陷阱判断时可由易到难进行一般是作图分析构造出符合题设条件的图形或反例来判断-32-考点1考点2考点3对点训练3αβ是两个平面mn是两条直线有下列四个命题①如果m⊥nm⊥αn∥β那么α⊥β②如果m⊥αn∥α那么m⊥n③如果α∥βm⊂α那么m∥β④如果m∥nα∥β那么m与α所成的角和n与β所成的角相等其中正确的命题有　　　　填写所有正确命题的编号 答案解析解析关闭对于①若m⊥nm⊥αn∥β则αβ的位置关系无法确定故错误对于②因为n∥α所以过直线n作平面γ与平面α相交于直线c则n∥c因为m⊥α所以m⊥c所以m⊥n故②正确对于③由两个平面平行的性质可知正确对于④由线面所成角的定义和等角定理可知其正确故正确命题的编号有②③④答案解析关闭②③④