高一数学空间向量及其运算

86　空间向量及其运算-2-知识梳理双基自测234151空间向量的有关概念1空间向量在空间中具有　　　　和　　　　的量叫做空间向量其大小叫做向量的　　　　或　　　　 2相等向量方向　　　　且模　　　　的向量 3共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线　　　　或　　　　则这些向量叫做　或　　　　　　　　a平行于b记作a∥b 4共面向量平行于同一　　　　的向量叫做共面向量 大小方向长度　模相同相等平行　重合共线向量平行向量平面知识梳理-3-知识梳理双基自测234152空间向量的有关定理1共线向量定理对空间任意两个向量abb≠0a∥b⇔存在λ∈R使aλb2共面向量定理若两个向量ab不共线则向量p与向量ab共面⇔存在唯一的有序实数对xy使pxayb3空间向

量基本定理如果三个向量abc不共面那么对空间任一向量p存在一个唯一的有序实数组xyz使得pxaybzc其中abc叫做空间的一个基底知识梳理-4-知识梳理双基自测234153两个向量的数量积1两个向量的夹角已知两个非零向量ab在空间任取一点O作则∠AOB叫做向量ab的夹角记作　　　　其范围是　　　　　　　　　若ltabgt则向量ab　　　　　　　　记作a⊥b 2两个向量的数量积已知两个非零向量ab则　　　　　　　叫做向量ab的数量积记作　　　　即a·b　　　　　　　 ltabgt　0≤ltabgt≤π　互相垂直abcosltabgta·b　abcosltabgt知识梳理-5-知识梳理双基自测234154空间向量的坐标表示及其应用设aa1a2a3bb1b2

b3a1b1a2b2a3b3　a1λb1a2λb2a3λb3a1b1a2b2a3b30知识梳理-6-知识梳理双基自测234153向量的数量积满足交换律和分配律即a·bb·aa·bca·ba·c成立但不满足结合律即a·b·ca·b·c不一定成立知识梳理2-7-知识梳理双基自测34151下列结论正确的打√错误的打×1a-bab是ab共线的充要条件　　2对空间任意一点O与不共线的三点ABC若3对于空间非零向量aba⊥b⇔a·b0　　4对于非零向量b由a·bb·c得ac　　5非零向量abc满足a·b·ca·b·c　　答案答案关闭1×　2×　3√　4×　5×知识梳理-8-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭知识梳理-9-知识梳理双基自测2341

53教材习题改编P92T3如图在一个60°的二面角的棱上有两个点ABACBD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段且AB4AC6BD8则CD的长为　　　　　 答案解析解析关闭答案解析关闭知识梳理-10-知识梳理双基自测234154教材习题改编P98T10如图在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中MN分别是A1B1和BB1的中点则直线AM和CN所成角的余弦值为　　　　　 答案答案关闭知识梳理-11-知识梳理双基自测23415解析以D为原点DADCDD1分别为x轴y轴z轴正半轴建立空间直角坐标系则A100A1101B1111B110C010知识梳理-12-知识梳理双基自测234155教材习题改编P98T4如图已知空间四边形ABCD的每条边

和对角线长都等于1点EFG分别是ABADCD的中点计算3EG的长4异面直线AG与CE所成角的余弦值知识梳理-13-知识梳理双基自测23415知识梳理-14-知识梳理双基自测23415知识梳理-15-考点1考点2考点3-16-考点1考点2考点3-17-考点1考点2考点3解题心得1选定空间不共面的三个向量作基向量并用它们表示出指定的向量这是用向量解决立体几何问题的基本要求另外解题时应结合已知和所求观察图形联想相关的运算法则和公式等就近表示所需向量2空间向量问题可以转化为平面向量问题来解决即把空间向量转化到某一个平面上利用三角形法则或平行四边形法则来解决-18-考点1考点2考点3-19-考点1考点2考点3-20-考点1考点2考点3例2已知EFGH分别是空间四

边形ABCD的边ABBCCDDA的中点用向量方法证明1EFGH四点共面2BD∥平面EFGH思考共线定理共面定理有哪些应用-21-考点1考点2考点3-22-考点1考点2考点3-23-考点1考点2考点3-24-考点1考点2考点3-25-考点1考点2考点3例3如图在▱ABCD中ABACCD1∠ACD90°把△ADC沿对角线AC折起使AB与CD所成的角为60°求BD的长思考如何利用空间向量的数量积求长度-26-考点1考点2考点3-27-考点1考点2考点3-28-考点1考点2考点3对点训练3如图在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是边长为1的正方形侧棱PA的长为2且PA与ABAD的夹角都等于60°M是PC的中点-29-考点1考点2考点3解1∵M是PC的中点