（新教材）【人教A版】高一数学《1.1.1集合的含义》

　第一章　集合与常用逻辑用语11　集合的概念第1课时　集合的含义　1元素与集合1元素把研究对象统称为元素常用小写的拉丁字母abc表示2集合一些元素组成的总体简称集常用大写拉丁字母ABC表示3集合相等指构成两个集合的元素是一样的4集合中元素的特性确定性互异性和无序性思考1集合中的研究对象所指的就是数学中的数点代数式吗提示集合中的研究对象所指的范围非常广泛可以是数学中的数点代数式也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等2很瘦的人能构成集合吗为什么提示很瘦的人不能构成集合因为它没有确定的标准如果给定一个集合A一个研究对象a是不是这个集合中的元素就确定了2元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A的元素就说a属于集合Aa∈Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素就说a不属于集合Aa∉Aa不属于集合A思考1元素与集合之间有第三种关系吗提示对于一个元素a与一个集合A而言只有a∈A与a∉A这两种结果2符号∈∉的左边可以是集合吗提示∈和∉具有方向性左边是元素右边是集合所以左边不可以是集合3常见的数集及表示符号数集非负整数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN或NZQR思考N与N或N有何区别提示N是所有正整数组成的集合而N是由0和所有的正整数组成的集合所以N比N或N多一个元素0素养小测1思维辨析对的打√错的打×1在一个集合中可以找到两个相同的元素　　2好听的歌能组成一个集合　　3高一1班所有姓氏构成的集合　　4含有123三个元素的集合有6个　　提示1×集合中的

元素是互不相同的2×好听的歌是不确定的所以好听的歌不能组成一个集合3√高一1班的姓氏是确定的所以能构成集合4×因为集合中的元素满足无序性故含有123三个元素的集合只有1个2已知a∈R且a∉Q则a可以为　　ABC-2D-解析选A是无理数所以∉Q∈R3已知集合A含有三个元素01x-2则实数x不能取的值是________ 解析根据集合中元素的互异性可知x-2≠0且x-2≠1所以实数x不能取的值是23答案23类型一　元素与集合的相关概念典例1以下元素的全体不能够构成集合的是　　A中国古代四大发明B周长为10cm的三角形C方程x2-10的实数解D地球上的小河流2集合P中含有两个元素1和4集合Q中含有两个元素1和a2若P与Q相等则a________世纪金榜导学号 思维·引1若一组元素是确定的则这组元素可以构成集合2根据相等集合的元素相同列方程求a的值解析1选D在A中中国古代四大发明具有确定性能构成集合故A能构成集合在B中周长为10cm的三角形具有确定性能构成集合故B能构成集合在C中方程x2-10的实数解为±1能构成集合故C能构成集合在D中地球上的小河流不确定因此不能构成集合故D不能构成集合2由 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 意得a24a±2答案±2内化·悟1判断一组对象能否组成集合的关键是什么提示判断一组对象能否组成集合关键看该组对象是否满足确定性如果此组对象满足确定性就可以组成集合否则不能组成集合2两个相等集合的元素有什么特点提示其中一个集合的任意一个元素在另一个集合中都可以找到相同的元素类题·通1一

组对象能构成集合的两个条件1能找到一个明确的标准使得对于任何一个对象都能确定它是不是给定集合的元素2任何两个对象都是不同的2集合相等的注意点若两个集合相等则这两个集合的元素相同但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等习练·破1下列判断正确的个数为　　1所有的等腰三角形构成一个集合2倒数等于它自身的实数构成一个集合3质数的全体构成一个集合4由234362构成含有6个元素的集合A1B2C3D4解析选C1正确2正确若a则a21所以a±1能构成集合3正确任何一个质数都在此集合中不是质数的都不在4不正确集合中的元素具有互异性构成的集合只能含有4个元素2设ab∈R集合A中含有0b三个元素集合B中含有1aab三个元素且集合A与集合B相等则a2b　　A1B0C-1D不确定解析选A由题意知ab0所以-1所以a-1b1所以a2b1加练·固1对于以下说法①绝对值非常小的全体实数构成一个集合②长方体的全体构成一个集合③全体无实数根的一元二次方程构成一个集合④005组成的集合含有4个元素其中正确的是　　A①②④B②③C③④D②④解析选B①中的元素不能确定④中的集合含有3个元素②③中的元素是确定的所以②③能构成集合2下列所给的对象能构成集合的是________ 12018年布宜诺斯艾利斯青奥会上中国队获得的金牌2无限接近零的数3方程x2-2x-30的所有解4平面直角坐标系中第一象限内的所有点解析1能因为中国队获得的金牌是确定的2不能因为无限接近标准不明确不具有确定性不能构成集合3能因为方程

x2-2x-30的解为x3或x-1是确定的数所以可以组成集合集合中有两个元素-1和34能因为第一象限内的点是确定的点综上能构成集合的是134答案134类型二　元素与集合的关系典例1下列结论中不正确的是　　A若a∈N则-a∉NB若a∈Z则a2∈ZC若a∈Q则a∈QD若a∈R则a3∈R2由不超过5的实数组成集合Aa则　　世纪金榜导学号Aa∈ABa2∈AC∉ADa1∉A思维·引1根据常见数集的表示方法和-aa2aa3的意义逐个判断2aa2a1与5比较大小即可确定答案解析1选AA中a0时显然不成立2选Aalt4lt5所以a∈Aa1lt15所以a1∈Aa222×252gt5所以a2∉Alt5所以∈A内化·悟研究元素与集合的关系的关键是什么提示1明确集合是由怎样的元素组成2对于各种数集要熟练掌握3构成集合的元素特征较为隐蔽时要注意利用相关知识进行分析类题·通　判断元素和集合关系的两种方法1直接法①使用前提集合中的元素是直接给出的②判断方法首先明确集合是由哪些元素构成然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可2推理法①使用前提对于某些不便直接表示的集合②判断方法首先明确已知集合的元素具有什么特征然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可习练·破1给出下列关系①∈R②∉Q③-3∉N④-∈Q⑤0∉N其中正确的个数为　　A1B2C3D4解析选B是实数是无理数-33是自然数-是无理数0是自然数故①②正确③④⑤不正确2已知集合A是由形如mn其中mn∈Z的数组成的判断是不是集合A中的

元素解析是因为2此时m2n1满足集合A中数的构成形式所以是集合A中的元素加练·固1已知A中元素x满足x3k-1k∈Z则下列表示正确的是　　A-1∉A　　　　　　B-11∈AC3k2-1∈A　　D-34∉A解析选Ck0时x-1所以-1∈A所以A错误令-113k-1k-∉Z所以-11∉A所以B错误令-343k-1k-11所以-34∈A所以D错误因为k∈Z所以k2∈Z则3k2-1∈A所以C正确2集合A中的元素x满足∈Nx∈N则集合A中的元素为________ 解析由∈Nx∈N知x≥0gt0且x≠3故0≤xlt3又x∈N故x012当x0时2∈N当x1时3∈N当x2时6∈N故集合A中的元素为012答案012类型三　集合中元素的特性典例已知集合A含有两个元素a-3和2a-11若-3∈A试求实数a的值2若a∈A试求实数a的值世纪金榜导学号思维·引1先根据-3∈A列方程求a然后检验集合中元素的互异性2先根据a∈A列方程求a然后检验集合中元素的互异性解析1因为-3∈A所以a-3-3或2a-1-3若a-3-3则a0此时集合A含有两个元素-3-1符合题意若2a-1-3则a-1此时集合A含有两个元素-4-3符合题意综上所述满足题意的实数a的值为0或-12因为a∈A所以a-3a或2a-1a当a-3a时有-30不成立当2a-1a时有a1此时A中有两个元素-21符合题意综上知a1素养·探在与集合中元素的特性有关的问题中经常利用核心素养中的数学抽象通过研究集合中元素的特性抽象出集合中元素的一般

规律并且用数学符号予以表示将本例的条件改为集合A中含有三个元素x-22x25x12且-3∈A求x的值解析因为-3∈A所以x-2-3或2x25x-3所以x-1或x-当x-1时x-2-32x25x-3集合A不满足元素的互异性所以x-1舍去当x-时经检验符合题意所以x-类题·通　根据集合中元素的特性求值的三个步骤发散·拓　　　集合中元素的特性的主要作用是什么提示1确定性的主要作用是判断一组对象能否构成集合只有这种对象具有确定性时才能构成集合2无序性的主要作用是与集合相等相映证当两个集合相等时其元素不一定依次对应相等只要元素完全一致即可3互异性的主要作用是做题后进行检验特别是题中含有参数字母求出参数的值后一定要检验求出的参数是否满足集合中元素的互异性延伸·练数集A满足条件若a∈A则∈Aa≠1若∈A求集合中的其他元素解析因为∈A所以2∈A所以-3∈A所以-∈A所以∈A故当∈A时集合中的其他元素为2-3-习练·破集合P由1mm2-3m-1三个元素组成若3∈P且-1∉P则实数m________ 解析由题意分两种情况1若m3则m2-3m-1-1不满足题意2若m2-3m-13则m4或m-1m-1不满足题意应舍去故m4答案4加练·固　　　设集合M中含有三个元素3xx2-2x1求实数x应满足的条件2若-2∈M求实数x的值解析1由集合中元素的互异性可知x≠3且x≠x2-2xx2-2x≠3解得x≠-1x≠0且x≠32因为-2∈M所以x-2或x2-2x-2若x2-2x-2则x2-2x20