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 高三数学课件:18等比数列

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高三数学课件:18等比数列

一概念与公式1定义2通项公式3前n项和公式二等比数列的性质1首尾项性质有穷等比数列中与首末两项距离相等的两项积相等即特别地若项数为奇数还等于中间项的平方即a1ana2an-1a3an-2若数列an满足 q常数则称an为等比数列an1anana1qn-1amqn-mna1q1Sna1-anq1-qq≠1a11-qn1-qa1ana2an-1a3an-2a中2特别地若mn2p则amanap22若pqrspqrs∈N则apaqaras3等比中项如果在两个数ab中间插入一个数G使aGb成等比数列则G叫做a与b的等比中项5顺次n项和性质4若数列an是等比数列mpn成等差数列则amapan成等比数列 6若数列anbn是等比数列则数列anbn 也是等比数列anbnGab若an是公比为q的等比数列则akakak也成等比数列且公比为qnk2n13nk1nkn12n7单调性8若数列an是等差数列则ban是等比数列若数列an是正项等比数列则logban是等差数列三判断证明方法1定义法2通项公式法3等比中项法a1gt0qgt1a1lt00ltqlt1或an是递增数列或a1gt00ltqlt1a1lt0qgt1an是递减数列q1an是常数列qlt0an是摆动数列典型例题1设数列an的前n项和为Sn若S11S23且Sn1-3Sn2Sn-10n≥2试判断an是不是等比数列2设等比数列an的前n项和为Sn若S3S62S9求数列的公比q3三个数成等比数列若将第三项减

高三数学课件:18等比数列1

去32则成等差数列再将此等差数列的第二项减去4又成等比数列求原来的三个数4已知数列an的各项均为正数且前n和Sn满足6Snan23an2若a2a4a9成等比数列求数列的通项公式a11a22Sn1-Sn2Sn-Sn-1an2n-1an是等比数列设三数为abc得b24ac7a3621050或933892629an1-an3a11an3n-212-436已知an是首项为a1公比为q的等比数列1求和a1C2-a2C2a3C2a1C3-a2C3a3C3-a4C32由1的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论并加以证明3设q≠1Sn是an的前n项和求S1Cn-S2CnS3Cn-S4Cn-1nSn1Cn00011122233n1a11-q2a11-q32a1Cn-a2Cna3Cn-a4Cn-1nan1Cna11-qnnN0123n3-a1q1-qn-12bn3qn-15数列an中a11a22数列anan1是公比为qqgt0的等比数列1求使anan1an1an2gtan2an3nN成立的q的取值范围2若bna2n-1a2nnN求bn的通项公式10ltqlt152∴n2SnnSn1-Sn证1∵an1Sn1-Sn又an1Snn2n整理得nSn12n1Snn2n∴Sn1-SnSnSnnSn1n1∴27数列an的前n项和记为Sn已知a11an1Snn123证明1数列是等比数列2Sn14ann2nSnnSnn∴是以1为首项2为公比的等比数列2由1知4n≥2Sn1n

高三数学课件:18等比数列2

1Sn-1n-1于是Sn14n14ann≥2Sn-1n-1又a23S13a13故S2a1a244a1因此对于任意正整数n都有Sn14an2证法2由1知2n-1Snn∴Snn2n-1 ∴Sn1n12n ∵anSn-Sn-1n2n-1-n-12n-2n12n-2n≥2 而a11也适合上式 ∴ann12n-2nN ∴4ann12nSn1 即Sn14an 7数列an的前n项和记为Sn已知a11an1Snn123证明1数列是等比数列2Sn14ann2nSnn8数列an中a11Sn14an21设bnan1-2an求证bn是等比数列并求其通项2设cn求证数列cn是等差数列3求Sna1a2anan2n1证由已知an1Sn1-Sn4an2-4an-1-2∴an14an-4an-1n≥2∴bnan1-2an4an-4an-1-2an2an-2an-12bn-1∴2n≥2bn-1bn∴bn是以3为首项2为公比的等比数列 又由a11a1a2S24a12得a25∴b1a2-2a13∴bn32n-1 ∴数列cn是等差数列∴Sn4an-1243n-42n-323n-42n-12 ∴an2ncn3n-12n-22证∵cn1-cn-an2nan12n1an1-2an2n1bn2n132n-12n1常数343解由已知c112a12∴由2得cnn-13n-1123414∴an-13n-42n-3n≥2而S1a11亦适合上式 ∴Sn3n-42n-12n

高三数学课件:18等比数列3

N8数列an中a11Sn14an21设bnan1-2an求证bn是等比数列并求其通项2设cn求证数列cn是等差数列3求Sna1a2anan2n1四个正数前三个数成等差数列其和为48后三个数成等比数列其最后一个数是25求此四数解由已知可设前三个数为a-daadd为公差且adgt0∵后三数成等比数列其最后一个数是25解得a16d4故所求四数分别为12162025∴a-daad48且ad225a∴a-d12ad20课后练习题2在等比数列an中a1a633a3a432an1ltan1求an2若Tnlga1lga2lgan求Tn解1∵an是等比数列∴a1a6a3a432又∵a1a633∴a1a6是方程x2-33x320的两实根∵an1ltan∴a6lta1∴a132a61∴32q51∴an26-nq122由已知lgan6-nlg2∴Tnlga1lga2lgan[6n-12n]lg2[6n-]lg2nn12[6-16-26-n]lg2-n2nlg2122113已知数列an为等比数列a26a51621求数列an的通项公式2设Sn是数列an的前n项和证明≤1SnSn2Sn121解设等比数列an的公比为q依题意得a1q6且a1q4162解得a12q3∴数列an的通项公式为an23n-12证Sn3n-121-3n1-3SnSn2Sn123n-13n2-13n1-1232n2-3n3n2132n2-23n1132n2-23n3n2132n2-23n11≤

高三数学课件:18等比数列4

1故有≤1成立SnSn2Sn124设an为等比数列Tnna1n-1a22an-1an已知T11T241求数列an的首项和公比2求数列Tn的通项公式解1设等比数列an的公比为q则T1a1T22a1a2又T11T24∴a112a1a24a22∴q2∴数列an的首项为1公比为22解法1由1知a11q2∴an2n-1∴Tnn1n-12n-22222n-212n-1∴2Tnn2n-122n-22322n-112n∴Tn-n2222n-12n2n1-n-2解法2设Sna1a2an∵an2n-1∴Sn2n-1∴Tnna1n-1a22an-1ana1a1a2a1a2a3a1a2anS1S2Sn2222n-n2n1-n-25在公差为dd0的等差数列an和公比为q的等比数列bn中已知a1b11a2b2a8b31求dq的值2是否存在常数ab使得对于一切正整数n都有anlgabnb成立若存在求出a和b若不存在说明理由解1∵a1b11a2b2a8b3∵d0∴解得d5q6故dq的值分别为56∴1dq且17dq22由1及已知得an5n-4bn6n-1              假设存在常数ab使得对于一切正整数n都有anlgabnb成立则5n-4loga6n-1b对一切正整数n都成立即5n-4nloga6b-loga6对一切正整数n都成立 ∴loga6=5b-loga6-4∴a6b15故存在常数ab它们的值分别为61使得对于一切正整数n都有anlga

高三数学课件:18等比数列5

bnb成立56设Sn为数列an的前n项和且满足2Sn3an-11证明数列an是等比数列并求Sn2若bn4n5将数列an和bn的公共项按它们在原数列中的顺序排成一个新的数列dn证明dn是等比数列并求其通项公式证1由已知a13当n≥2时anSn-Sn-1∴2an2Sn-Sn-12Sn-2Sn-13an-an-1an3an-1故数列an是首项与公比均为3的等比数列从而an3nSn3n1-3122易知d1a2b19设dn是an中的第k项又是bn中的第m项即dn3k4m5∵ak13k134m543m33不是数列bn中的项而ak23k294m549m105是bn的第9m10项∴dn1ak23k2dn1dn由  9知dn是首项与公比均为9的等比数列故dn9n7anbn都是各项为正的数列对于任意的自然数n都有anbnan1成等差数列bnan1bn1成等比数列1求证bn是等差数列2如果a11b12Sn求Sn2221a11a21an∵angt0bngt0∴由②式得an1bnbn11证依题意有2bnanan1① an1bnbn1②2222从而当n≥2时anbn-1bn代入①得2bnbn-1bnbnbn12∴2bnbn-1bn1n≥2∴bn是等差数列2解由a11b12及①②两式易得a23b2232从而bnb1n-1dn122故an1n1n212∴annn1n≥212而a11亦适合上式 ∴annn1nN12∴Sn21---n11212131n12nn1

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