高三数学课件：25三角公式

一两角和与差的三角函数二二倍角公式升幂公式降次公式sinsincoscossincoscoscossinsin-tantantan1tantan-asinbcosa2b2sincos2cos2-sin22cos2-11-2sin2sin22sincostan22tan1-tan2sin21-cos22cos21cos22三半角公式四万能公式五其它公式sin33sin-4sin3cos34cos3-3cossin60-sinsin60sin314cos60-coscos60cos314sin1-cos22cos1cos22tan1-cos1cos2sin1cos1-cossinsin2tan21tan22tan2tan21-tan22cos1-tan221tan22公式选择1从函数的名称考虑切割化弦有时也可考虑弦化切异名化同名使函数的名称尽量统一2从角的特点考虑异角化同角抓住角之间的规律如互余互补和倍关系等等3从变换的需要考虑达到分解化简或将条件与结论挂钩等目的4尽量避开讨论常用技巧与方法1变换常数项将常数变换成三角函数2变角对命题中的某些角进行分拆从而使命题中的角尽量统一3升幂或降次运用倍半角公式进行升幂或降次变换从而改变三角函数式的结构4运用代数变换中的常用方法因式分解配方凑项添项换元等等三角函数式化简目标1项数尽可能少2三角函数名称尽可能少3角尽可能小和少4次数尽可能低5分母尽可能不含三角式6尽可能不带根号7能求出值的求出值典型例题1求sin220ºcos250ºsin20ºcos50º的值思维精析从幂入手用降幂公式解法1原式sin70º-sin30º1cos100º21-cos40º212-sin70ºsin30ºsin70º12343

4思维精析从形入手配成完全平方3412解法2原式sin20ºcos50º2cos250º3412[sin50º-30ºcos50º]2cos250º34sin50ºcos30º2cos250º34思维精析从角入手化异角为同角34解法3原式sin250º-30ºcos250ºsin50º-30ºcos50ºsin50ºcos30º-cos50ºsin30º2cos250ºsin50ºcos30º-cos50ºsin30ºcos50ºsin250ºcos250º34思维精析从式入手构造对偶式解法4设xsin220ºcos250ºsin20ºcos50º34思维精析从三角形入手构造图形利用正余弦定理解法5设△ABC外接圆半径为1A20ºB40ºycos220ºsin250ºcos20ºsin50º则xy2sin70º①x-y-cos40ºcos100º-sin30º②x2sin70º-cos40ºcos100º-sin30º12sin70º-2sin70ºsin30º1232则C120º由正余弦定理知原式sin220ºsin240ºsin20ºsin40ºsin220ºsin240º-2sin20ºsin40ºcos120ºsin2120º34得2①②∴sin220ºcos250ºsin20ºcos50º的值为341求sin220ºcos250ºsin20ºcos50º的值2已知ltltltcos-sin-求sin2的值243131235解∵ltltlt243∴0lt-ltltlt423∴sin-cos-45135∴sin2sin[-]sincos-cossin---351312451356556-∴sin-gt0coslt03已知sincos2sinsincossin2求证2cos2cos24已知sinmsin2

其中m02kkZ求证tantan1-m1m证∵sincos2sin∴sincos24sin2∴12sincos21-cos2∵sincossin2∴12sin221-cos2∴11-cos221-cos2∴2cos2cos2证∵sinmsin2∴msinsin2tan∴tantan1-m1msin2sinsin2-sintan2sincos2cossin∴tantan1-m1m另证∵sinmsin2∴sin[-]msin[]∴sincos-cossin整理得1-msincos1mcossinm[sincoscossin]∴tantan1-m1m4已知sinmsin2其中m02kkZ求证tantan1-m1m5已知tancot是关于x的方程x2-kxk2-30的两实根且3ltlt求cos3sin的值72解由已知k2-3tancot1∴k24∴ktancotgt0∵3ltlt是第三象限角72∴tancot2∴tan1∴34∴cos3sincossin442cos6sin4446已知tan-tan-且0求2-的值1217解由已知tantan[-]1217-1217×113∴tan2-tan[-]12131213×1-1∵tangt0tanlt00∴0ltltltlt22∴-lt-lt0又tan-gt0∴-lt-lt-2∴-lt2-lt02--43∴由tan2-1知注亦可由tanlt1得0ltlt4∴0lt2lt2∴-lt2-lt07计算-64sin220º

sin220º3cos220º1sin220ºcos220º3cos220º-sin220º解原式64sin220ºsin220ºcos220º3cos20ºsin20º3cos20º-sin20º64sin220ºsin240º16sin80ºsin40º64sin220º32cos40º64sin220º321-2sin220º64sin220º328已知sin2-ltlt-函数fxsin-x-sinx2cos1求cos的值2若f-1x表示fx在[-]上的反函数试求f-1-的值342352210102解1∵-ltlt-∴-lt2lt-3432∴coslt0cos2lt0∴由已知可得cos2-45故由cos22cos2-1得cos-10102fxsin-x-sinx2cos-2cossinx2cos-2cossinx-1sinx-11051010由sinx-1-得105sinx1222∵x[-]∴x66∴f-1-1010解法1∵sin22sin2cos-cos21∴4sin2cos22sincos22cos21已知sin22sin2cos-cos210求sintan的值2∴cos22sin2sin-10cos22sin-1sin10∵02∴cos20sin10∴2sin-10∴sin12∴6∴tan33故sintan的值分别为和3312解法2∵sin22sin2cos-cos21∴sin2cos-cos21-sin22cos22∴2sincos22cos2cos2∵02∴cos20∴sincos2即cos-cos22∵-020且ycosx在0内是减函数22∴-22∴6∴sintan1233课后练

习解法3由已知sin22sin2cos-cos2-10可看作关于sin2的一元二次方程解这个一元二次方程得sin2-coscos241cos22-cos3cos2∵02∴sin2cos即2sincoscos∴6∴tan33∴sin121已知sin22sin2cos-cos210求sintan的值2故sintan的值分别为和33122已知cos-cos且2求13122617223232323解∵2∴02672又由已知得sin-sin-135∴coscos[-]coscossinsin---1312135261722672-22∴433已知tantanacotcotb求证abab-4ab244证∵acoscossin44coscossin244bsinsinsin2444sinsincoscossin2244∴ab2sin2sin22[1-cos4]2cos2sin221sin4sin441sin4∴ab-4sin44sin24161sin4∴abab-444又∵abtancottancot2sin22sin22cos22sin22sin44sin2cos2∴ab2sin2416sin2cos22sin24161sin4∴abab-4ab24已知sin2sin-2求2sin2tan-cot-1的值244144解由已知sin2sin-21444sin2cos244sin4212cos412∴cos412∵42∴125∴2sin2tan-cot-1-cos-2cot6565-

cos2-2cot22332352cos2cot665设是锐角且tantan3tantan求证成等差数列2212证由已知tantan12tan1-tan222tan1tan21-tan21tan222222tantan1-tantan2222tan∵是锐角∴都是锐角22tan故由tan知2∴成等差数列tantan31-tantan322226已知tan1求tan的值2求的值sin2-cos21cos212412解1∵tan且tan441tan1-tan1tan1-tan12∴解得tan-132原式2sincos-cos212cos2-12sin-cos2cos12tan-13--12-567已知6sin2sincos-2cos20[求sin2的值23解∵6sin2sincos-2cos20∴3sin2cos2sin-cos0∴3sin2cos0或2sin-cos0又由已知得cos02∴2∴从而tanlt0∴tan-23∴sin2sin2coscos2sin333sincoscos2-sin232sincoscos2sin2cos2-sin2cos2sin232tan1tan21-tan21tan232-31362658已知函数fx-1将fx表示成cosx的整式sin2sin25x2x122若yfx与ygxcos2xa1cosx-cosx-3的图象在0内至少有一个公共点试求a的取值范围sin-sin2sin25x2x12解1fx-sin2sin25x2x2x2cossinx2sin23x2x2coscos23x2xcos2xcosx2cos2xcosx-1