（新教材）【人教A版】高一数学《1.2集合间的基本关系》

12　集合间的基本关系　　1Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合这种图称为Venn图2子集与真子集概念定义符号表示图形表示子集如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素称集合A为集合B的子集A⊆B或B⊇A读作A含于B或B包含A真子集如果集合A⊆B但存在元素x∈B且x∉A则称集合A是集合B的真子集AB或BA思考1任意两个集合之间是否有包含关系提示不一定如集合A13B23这两个集合就没有包含关系2符号∈与⊆有什么区别提示①∈是表示元素与集合之间的关系比如1∈N-1∉N②⊆是表示集合与集合之间的关系比如N⊆R123⊆321③∈的左边是元素右边是集合而⊆的两边均为集合3集合相等自然语言如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素那么集合A与集合B相等记作AB符号语言A⊆B且B⊆A⇔AB图形语言4空集定义不含任何元素的集合叫做空集记法∅规定空集是任何集合的子集即∅⊆A特性1空集只有一个子集即它的本身∅⊆∅2A≠∅则∅A思考1∅与0有何区别提示∅是不含任何元素的集合0是含有一个元素的集合0∈00∉∅∅02若集合A满足A⊆B则从元素具有什么特征考虑集合A有哪些情况提示有以下三种情况①A是空集②A是由B的部分元素构成的集合③A是由B的全部元素构成的集合5集合间关系的性质1任何一个集合都是它本身的子集即A⊆A2对于集合ABC若A⊆B且B⊆C则A⊆C素养小测1思维辨析对的打√错的打×1任何集合至少有两个子集　　2012⊆201　　3若A⊆B且A≠B则AB　　

4集合01的子集是0101　　提示1×∅只有一个子集2√012201所以012⊆2013√若A⊆B且A≠B则AB4×∅也是集合01的子集2下列图形中表示M⊆N的是　　解析选C根据 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 意可知M中的任意一个元素都是N中的元素故C正确3已知集合A-13mB34若B⊆A则实数m________ 解析因为B⊆AB34A-13m比较AB中的元素可知m4答案4类型一　集合间关系的判断典例1下列各个关系式中正确的是　　A∅0　　　　　　B∈QC35≠53　　　　D1⊆xx2x2已知集合Axxlt-2或xgt0Bx0ltxlt1则　　AAB　　BAB　　CBA　　DA⊆B3判断下列各组中集合之间的关系1Axx是12的约数Bxx是36的约数2Axx2-x0Bx∈Rx2103Axx是平行四边形Bxx是菱形Cxx是四边形Dxx是正方形4MN世纪金榜导学号思维·引1先确定是元素与集合的关系还是集合与集合的关系然后根据集合中元素的特征逐项判断2画出数轴观察数轴判断集合A与B的关系3首先确定集合由哪些元素构成然后判断集合之间的关系解析1选D因为∅0∉Q3553所以ABC错误xx2x01所以1⊆xx2x成立2选C由数轴知BA31因为若x是12的约数则必定是36的约数反之不成立所以AB2因为Axx2-x001Bx∈Rx210∅所以BA3由图形的特点可画出Venn图如图所示从而CABD4方法一对于集合M其组成元素是分子部分表示所有的整数对于集合N其组成元素是n分子部分表示所有的奇数由真子集的概念知NM方法二用列举法

表示集合如下MN所以NM内化·悟当集合中元素有无限多个时常用哪些方法判断集合之间的关系提示常用的方法有以下两种1画数轴2适当变形寻找联系例如对于集合AB将集合A变为A不难观察出AB类题·通1集合间基本关系判定的两种方法和一个关键2证明集合相等的两种方法1用两个集合相等的定义证明两个集合AB中的元素全部相同即可证明AB2证明A⊆B同时B⊆A推出AB习练·破1已知集合Axx3kk∈ZBxx6kk∈Z则A与B之间最适合的关系是　　AA⊆B　　BA⊇B　　CAB　　DAB解析选D因为A中元素是3的整数倍而B中元素是3的偶数倍所以集合B是集合A的真子集2已知集合AB则集合AB的关系为________ 解析由集合A得A由集合B得B因为2n1n∈Z和2n3n∈Z都表示所有奇数所以AB答案AB加练·固1已知集合USTF之间的关系如图所示下列关系中错误的有________只填序号 ①SU②FT③ST④SF⑤FU解析根据子集真子集的定义由Venn图的关系可以看出SUSTFU正确②④错误答案②④2已知集合Axx3n-2n∈ZByy3k1k∈Z证明AB证明1设任意x0∈A则x03n0-2且n0∈Z3n0-23n0-11因为n0∈Z所以n0-1∈Z所以x0∈B故A⊆B2设任意y0∈B则有y03k01且k0∈Z3k013k01-2因为k0∈Z所以k01∈Z所以y0∈A故B⊆A综上可得AB类型二　元素个数有限的集合的子集问题典例1满足2019⊆A201920202021的集合A的个数为　　A1　　　　B2　

　　　C3　　　　D42已知集合Axyxy2xy∈N试写出A的所有子集世纪金榜导学号思维·引1依据子集和真子集的定义确定集合A中的元素写出满足条件的集合2先确定集合A由哪些元素构成然后按元素个数分类写出A的所有子集解析1选C满足2019⊆A201920202021的集合A可以是A20192019202020192021因此满足条件的集合A的个数为32因为Axyxy2xy∈N所以A021120所以A的子集有∅021120021102201120021120内化·悟求集合的子集时为了做到不重不漏常采用什么方法提示对于含有n个元素的集合A按元素个数由0到n依次列出集合A的子集类题·通　求解有限集合的子集的三个关键点1确定所求集合2合理分类按照子集所含元素的个数依次写出3注意两个特殊的集合即空集和集合本身另外一般地若集合A中有n个元素则其子集有2n个真子集有2n-1个非空真子集有2n-2个习练·破满足条件xx2-10⊆A-10125的集合A的个数为　　A7　　　　B6　　　　C8　　　　D5解析选A因为xx2-10-11所以-11⊆A-10125所以集合A可以是-11-110-112-115-1102-1105-1125共7个加练·固已知a为给定的实数那么集合Mxx2-3x-a220x∈R的子集的个数为　　A1　　　B2　　　C4　　　D不确定解析选C方程x2-3x-a220的根的判别式Δ14a2gt0所以方程有两个不相等的实数根所以集合M有2个元素所以集合M有224个子集类型三　由集

合间的关系求参数的值取值范围角度1　由集合相等求参数典例已知集合A2xyB2x2y2且AB求xy的值思维·引根据AB列方程组解方程求出xy检验集合中元素的互异性求出xy的值解析因为AB所以集合A与集合B中的元素相同所以或解得或或验证得当x0y0时A200这与集合元素的互异性相矛盾舍去所以xy的取值为或角度2　由集合之间的包含关系求参数典例已知集合Ax-2≤x≤5Bxm-6≤x≤2m-1若B⊆A求实数m的取值范围世纪金榜导学号思维·引分B∅和B≠∅两种情况讨论B≠∅时根据B⊆A列不等式组求m的取值范围解析1当B∅时有m-6gt2m-1则mlt-5此时B⊆A成立2当B≠∅时B⊆A此时满足解得不等式组解集为∅由12知实数m的取值范围是mmlt-5素养·探由集合间的关系求参数问题中经常利用核心素养中的直观想象由数轴直观展示集合之间的关系并列出不等式组求参数的值或范围本例中若将Ax-2≤x≤5改为Axxlt-2或xgt5其余条件不变求实数m的取值范围解析1当B∅时m-6gt2m-1则mlt-5此时满足条件B⊆A2当B≠∅时B⊆A则或解得-5≤mlt-或mgt11综合12知实数m的取值范围是mmlt-或mgt11类题·通1由集合相等求参数取值的方法从集合相等的含义出发转化为元素间的关系一是利用分类讨论的方法建立方程组求参数的值二是利用元素相同则元素的和与积分别相同建立方程组求参数的值需要注意的是解方程组后要代入检验对不符合题意的参数的值要舍去2由集合之间的包含关系求参数的两类问题1若集合中

的元素是一一列举的依据集合之间的关系可转化为解方程组求解此时要注意集合中元素的互异性2若集合中的元素由不等式组限制常借助于数轴转化为不等式组求解此时要注意端点值能否取到3由集合之间的包含关系求参数的一个关注点空集是任何集合的子集因此在解A⊆BB≠∅的含参数的问题时要注意讨论A∅和A≠∅两种情况前者常被忽视造成思考问题不全面习练·破1已知集合Pxx21集合Qxax1若Q⊆P那么a的取值是________ 解析由题意得P-11又因为Q⊆P若Q∅则a0此时满足Q⊆P若Q≠∅则Q由题意知1或-1解得a±1综上可知a的取值是0±1答案0±12已知集合Axxyx-yB0xy且AB求实数x与y的值解析由已知AB0xy所以0∈A若x0则A00-y不满足元素的互异性若xy0即y0则B0x0也不满足元素的互异性所以只有x-y0即yx所以Axxyx-yxx20B0xx所以x2x所以x0舍或x1或x-1当x1时AB110不满足元素的互异性故x≠1当x-1时AB-110满足题意所以xy-1即为所求加练·固1已知集合Ax-3ltxlt4Bxm-1≤xltm1且BA求实数m的取值范围解析因为BA画出数轴观察可知解得-2ltm≤3综上实数m的取值范围为m-2ltm≤32已知集合A13x2B1x2是否存在实数x使得集合B是A的子集若存在求出AB若不存在说明理由解析存在当x23即x1时A131不满足元素的互异性所以x1舍当x2x2即x2或x-1若x2时A134B14满足B⊆A若x-1时A131不满足元素的互异性