（新教材）【人教A版】高一数学《 1.5.1全称量词与存在量词》

15　全称量词与存在量词151　全称量词与存在量词1全称量词与全称量词命题1全称量词短语所有的任意一个在逻辑中通常叫做全称量词并用符号∀表示2全称量词命题含有全称量词的命题叫做全称量词命题3符号表示①将含有变量x的语句用pxqxrx表示变量x的取值范围用M表示②全称量词命题对M中任意一个xpx成立可用符号简记为∀x∈Mpx思考常见的全称量词还有哪些提示常见的全称量词还有一切每一个任给凡是等2存在量词与存在量词命题1存在量词短语存在一个至少有一个在逻辑中通常叫做存在量词并用符号∃表示2存在量词命题含有存在量词的命题叫做存在量词命题3符号表示存在量词命题存在M中的元素xpx成立可用符号简记为∃x∈Mpx思考常见的存在量词还有哪些提示常见的存在量词还有有些有一个对某些等素养小测1思维辨析对的打√错的打×1全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题　　2存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题　　3全称量词命题一定含有全称量词　　提示1√全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质无一例外强调整体全部2√存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外强调个别部分3×有些命题虽然没有写出全称量词但其意义具备任意性这类命题也是全称量词命题如正数大于0即所有正数都大于0故说法是错误的2下列命题中是存

在量词命题的是　　A∀x∈Rx2≥0B∃x∈Rx2lt0C平行四边形的对边不平行D矩形的任一组对边都不相等解析选BACD是全称量词命题B是存在量词命题3下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是　　A每个二次函数的图象都开口向上B存在实数x平方为8C所有菱形的四条边都相等D存在一个实数x使不等式x2-3x6lt0成立解析选CA是全称量词命题但是假命题BD是存在量词命题C是全称量词命题且是真命题类型一　全称量词命题与存在量词命题的判断典例1下列命题中为全称量词命题的是　　A有些实数没有倒数B矩形都有外接圆C过直线外一点有一条直线和已知直线平行D∃x∈Rx2x≤22下列命题中为存在量词命题的是　　A存在实数xgt1使x2gt1B全等的三角形必相似C相似三角形必全等D∀x∈Nx-22gt03判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题世纪金榜导学号1有一个实数xx不能取倒数2所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径3圆内接四边形其对角互补4若一个四边形是菱形则这个四边形的对角线互相垂直思维·引1先看是否有全称量词当没有时要结合命题的具体意义进行判断2根据是否有存在量词进行判断3有全称量词的是全称量词命题有存在量词的是存在量词命题当没有时要结合命题的具体意义进行判断解析1选BACD是存在量词命题B可改写为所有矩形都有外接圆是全称量词命题2选AA是存在量词

命题BCD是全称量词命题31含有存在量词有一个故为存在量词命题2含有全称量词所有故为全称量词命题3可改写为所有圆内接四边形的对角互补故为全称量词命题4若一个四边形是菱形也就是所有的菱形故为全称量词命题内化·悟　通常什么情况下会省略量词提示全称量词命题可能省略全称量词存在量词命题的存在量词一般不能省略类题·通　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路习练·破　判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题1对任意的n∈Z2n1是奇数2有些三角形不是等腰三角形3有的实数是无限不循环小数4所有的正方形都是矩形解析1含有全称量词任意故为全称量词命题2含有存在量词有些故为存在量词命题3含有存在量词有的故为存在量词命题4含有全称量词所有故为全称量词命题加练·固判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题1∀x∈Rx21≥12所有的正方形都是菱形3有些整数只有两个正因数4有一个实数x使x22x30解析1含有全称量词∀故为全称量词命题2含有全称量词所有故为全称量词命题3含有存在量词有些故为存在量词命题4含有存在量词有一个故为存在量词命题类型二　全称量词命题与存在量词命题的真假判断典例1判断下列全称量词命题的真假1所有的有理数都有倒数2任何实数都有平方根3∀x∈R使x2x1gt04凸多边形的外角和等于360°2判断下列存在量词命题的真假世纪金榜导学号1存

在有理数x使x2-202存在一个x∈R使03存在x∈Q使2x-x304∃x∈Z使3x45思维·引1若每个元素都满足px则是真命题若存在一个元素不满足px则是假命题2若存在一个元素满足px则是真命题否则是假命题解析110是有理数但是0没有倒数所以此命题是假命题2负数没有平方根所以此命题是假命题3对于任意的x∈Rx2x1gt0恒成立所以此命题是真命题4凸多边形的外角和等于360°是真命题21方程x2-20无有理数根所以该命题是假命题2因为不存在x∈R使0成立所以该命题是假命题3有理数x0是方程2x-x30的一个实数根所以该命题是真命题4由于3x45成立时x∉Z因而不存在x∈Z使3x45所以存在量词命题∃x∈Z使3x45是假命题内化·悟　判断全称量词命题真假时真命题容易判断还是假命题容易判断存在量词命题呢提示判断全称量词命题为假比判断其为真容易只需一个反例即可判断存在量词命题为真比判断其为假容易只需一个特例即可类题·通　全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧1全称量词命题的真假判断要判定一个全称量词命题是真命题必须对限定集合M中的每个元素x验证px成立但要判定全称量词命题是假命题只要能举出集合M中的一个xx0使得px0不成立即可这就是通常所说的举出一个反例2存在量词命题的真假判断要判定一个存在量词命题是真命题只要在限定集合M中找到一个x使p

x成立即可否则这一存在量词命题就是假命题习练·破　指出下列命题中哪些是全称量词命题哪些是存在量词命题并判断真假1在平面直角坐标系中任意有序实数对xy都对应一点2存在一个实数它的绝对值不是正数3∃xy∈Z使3x-4y204任何数的0次方都等于1解析1全称量词命题在平面直角坐标系中任意有序实数对xy与平面直角坐标系中的点是一一对应的所以该命题是真命题2存在量词命题存在一个实数零它的绝对值不是正数所以该命题是真命题3存在量词命题取x0y-5时3×0-4×-520成立所以该命题是真命题4全称量词命题0的0次方无意义所以该命题是假命题加练·固　　指出下列命题中哪些是全称量词命题哪些是存在量词命题并判断真假1∃x∈Qx232每一个三角形的内角和都是180°3钝角三角形有的高在三角形外部4对任意的ab∈R都有a2b2-2a-2b2lt0解析1存在量词命题由于使x23成立的实数只有±且它们都不是有理数因此没有任何一个有理数的平方能等于3所以该命题是假命题2全称量词命题由三角形的内角和定理可知该命题是真命题3存在量词命题钝角三角形的高有可能在三角形外部所以该命题是真命题4全称量词命题a2b2-2a-2b2a-12b-12≥0所以该命题是假命题类型三　全称量词命题与存在量词命题的应用典例1已知命题p∃x∈R关于x的一元二次方程x2-2xm0有实数根是真命题则

实数m的取值范围是　　Amlt3Bmgt3Cm≤3Dm≥32已知命题p∀x∈Rmx2≥0是真命题则实数m的取值范围是__________世纪金榜导学号 思维·引1由题意可知对应的方程有实数解即Δ≥02根据x2≥0确定实数m的取值范围解析1选C因为关于x的一元二次方程x2-2xm0有实数根所以Δ-22-4m≥0所以m≤32当x∈R时x2≥0若∀x∈Rmx2≥0是真命题有m≥0答案m≥0素养·探　在与全称量词命题与存在量词命题的应用有关的问题中经常利用核心素养中的逻辑推理通过研究全称量词命题和存在量词命题的意义推理得到字母的取值范围将本例1的方程改为x22x2m求实数m的取值范围解析依题意方程x22x2-m0有实数解所以Δ4-42-m≥0解得m≥1类题·通　利用含量词的命题的真假求参数的取值范围1含参数的全称量词命题为真时常与不等式恒成立有关可根据有关代数恒等式如x2≥0确定参数的取值范围2含参数的存在量词命题为真时常转化为方程或不等式有解问题来处理可借助根的判别式等知识解决习练·破　已知命题p∀x≥3使得2x-1≥m是真命题则实数m的取值范围是__________ 解析因为当x≥3时2x-1≥5所以若∀x≥3使得2x-1≥m是真命题则m≤5答案m≤5加练·固　　已知命题p∃xlt0mx≥0是真命题则实数m的取值范围是__________