高一数学直线、平面垂直的判定与性质

85　直线平面垂直的判定与性质-2-知识梳理双基自测2311直线与平面垂直任意m∩nOa⊥α　知识梳理-3-知识梳理双基自测231b⊂αa∥b知识梳理-4-知识梳理双基自测2312平面与平面垂直1平面与平面垂直的定义两个平面相交如果它们所成的二面角是　　　　　　　　就说这两个平面互相垂直 直二面角知识梳理-5-知识梳理双基自测2312判定定理与性质定理垂线交线　l⊥α知识梳理-6-知识梳理双基自测2313常用结论1线面平行或垂直的有关结论①若两平行线中的一条垂直于一个平面则另一条也垂直于这个平面②若一条直线垂直于一个平面则它垂直于这个平面内的任何一条直线 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 线线垂直的一个重要方法③垂直于同一条直线的两个平面平行④一条直线垂直于两平行平面中的一个则这一条直线与另一个平面也垂直⑤两个相交平面同时垂直于第三个平面它们的交线也垂直于第三个平面2证明线面垂直时易忽视平面内两条线为相交线这一条件知识梳理2-7-知识梳理双基自测34151下列结论正确的打√错误的打×1已知直线abc若a⊥bb⊥c则a∥c　　2直线l与平面α内的无数条直线都垂直则l⊥α　　3设mn是两条不同的直线α是一个平面若m∥nm⊥α则n⊥α　　4若两平面垂直则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面　　5若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线则α⊥β　　 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 答案关闭1×　2×　3√　4×　5×知识梳理-8-知识梳理双基自测234152如图O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心则下列直线中与B1O垂直的是　　AA1DBAA1CA1D1DA1C1答案解析解析关闭由题易知A1C1⊥平面BB1D1D又OB1⊂平面DD1B1B所以A1C1⊥B1O答案解析

关闭D知识梳理-9-知识梳理双基自测234153教材习题改编P69练习将图①中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体A-BCD如图②则在空间四面体A-BCD中AD与BC的位置关系是　　A相交且垂直B相交但不垂直C异面且垂直D异面但不垂直答案解析解析关闭在题图①中的等腰直角三角形ABC中斜边上的中线AD就是斜边上的高则AD⊥BC翻折后如题图②AD与BC变成异面直线而原线段BC变成两条线段BDCD这两条线段与AD垂直即AD⊥BDAD⊥CD故AD⊥平面BCD所以AD⊥BC答案解析关闭C知识梳理-10-知识梳理双基自测234154教材习题改编P67T2P为△ABC所在平面外一点O为P在平面ABC内的射影1若P到△ABC三边距离相等且O在△ABC的内部则O是△ABC的　　　　　心 2若PA⊥BCPB⊥AC则O是△ABC的　　　　　心 3若PAPBPC与底面所成的角相等则O是△ABC的　　　　　心 答案解析解析关闭1由P到△ABC三边距离相等且O在△ABC的内部可知O到△ABC三边距离相等即O是△ABC的内心2由PO⊥平面ABC且BC⊂平面ABC得PO⊥BC又PA⊥BCPO与PA是平面POA内两条相交直线所以BC⊥平面POA从而BC⊥AO同理AC⊥BO所以O是△ABC的垂心3由PAPBPC与底面所成的角相等易得Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC从而OAOBOC所以O是△ABC的外心答案解析关闭1内　2垂　3外知识梳理-11-知识梳理双基自测234155如图PA⊥☉O所在平面AB是☉O的直径C是☉O上一点AE⊥PCAF⊥PB给出下列结论①AE⊥BC②EF⊥PB③AF⊥BC④AE⊥平面PBC其中真命题的序号是　　　　　　　

　 答案解析解析关闭①因为AE⊂平面PACBC⊥ACBC⊥PA所以AE⊥BC故①正确②因为AE⊥PCAE⊥BCPB⊂平面PBC所以AE⊥PB又AF⊥PBEF⊂平面AEF所以EF⊥PB故②正确③因为AF⊥PB若AF⊥BC则AF⊥平面PBC则AF∥AE与已知矛盾故③错误由①可知④正确答案解析关闭①②④知识梳理-12-考点1考点2考点3例1如图S是Rt△ABC所在平面外一点且SASBSCD为斜边AC的中点1求证SD⊥平面ABC2若ABBC求证BD⊥平面SAC思考证明线面垂直的常用方法有哪些-13-考点1考点2考点3证明1如图取AB的中点E连接SEDE在Rt△ABC中∵DE分别为ACAB的中点∴DE∥BC∴DE⊥AB∵SASB∴SE⊥AB又SE∩DEE∴AB⊥平面SDE又SD⊂平面SDE∴AB⊥SD在△SAC中∵SASCD为AC的中点∴SD⊥AC又AC∩ABA∴SD⊥平面ABC2∵ABBCD为AC的中点∴BD⊥AC由1可知SD⊥平面ABC∵BD⊂平面ABC∴SD⊥BD又SD∩ACD∴BD⊥平面SAC-14-考点1考点2考点3解题心得1证明线面垂直的方法1线面垂直的判定定理常用方法l⊥al⊥ba⊂αb⊂αa∩bP⇒l⊥α2面面垂直的性质定理常用方法α⊥βα∩βla⊂αa⊥l⇒a⊥β3性质①a∥bb⊥α⇒a⊥α②α∥βa⊥β⇒a⊥α4α⊥γβ⊥γα∩βl⇒l⊥γ客观题可用2在证明线线垂直时要注意题中隐含的垂直关系如等腰三角形底边上的 高中 高中语文新课程标准高中物理选修31全套教案高中英语研修观课报告高中物理学习方法和技巧高中数学说课稿范文 线和顶角的角平分线三线合一矩形的内角直径所对的圆周角菱形的对角线互相垂直直角三角形或给出线段长度经计算满足勾股定理直角梯形等等-15-考点1考点2考点3对点训练1如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中EF⊥A

1DEF⊥AC求证EF∥BD1-16-考点1考点2考点3证明如图连接A1C1C1DB1D1BD因为AC∥A1C1EF⊥AC所以EF⊥A1C1又EF⊥A1DA1D∩A1C1A1所以EF⊥平面A1C1D①因为BB1⊥平面A1B1C1D1A1C1⊂平面A1B1C1D1所以BB1⊥A1C1因为四边形A1B1C1D1为正方形所以A1C1⊥B1D1又B1D1∩BB1B1所以A1C1⊥平面BB1D1D又BD1⊂平面BB1D1D所以A1C1⊥BD1同理DC1⊥BD1因为DC1∩A1C1C1所以BD1⊥平面A1C1D②由①②可知EF∥BD1-17-考点1考点2考点3例2如图四边形ABCD为菱形G为AC与BD的交点BE⊥平面ABCD1证明平面AEC⊥平面BED2若∠ABC120°AE⊥EC三棱锥E-ACD的体积为求该三棱锥的侧面积思考证明面面垂直的常用方法有哪些-18-考点1考点2考点31证明因为四边形ABCD为菱形所以AC⊥BD因为BE⊥平面ABCD所以AC⊥BE故AC⊥平面BED又AC⊂平面AEC所以平面AEC⊥平面BED-19-考点1考点2考点3-20-考点1考点2考点3解题心得1两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形2由平面和平面垂直的判定定理可知要证明平面与平面垂直可转化为从现有直线中寻找平面的垂线即证明线面垂直3平面和平面垂直的判定定理的两个条件l⊂αl⊥β缺一不可-21-考点1考点2考点3对点训练2如图在三棱锥P-ABC中平面PAB⊥平面PACAB⊥BPMN分别为PAAB的中点1求证PB∥平面CMN2若ACPC求证AB⊥平面CMN-22-考点1考点2考点3证明1在平面PAB中因为MN分别为PAAB的中点所以MN∥PB又PB⊄平面CMN

MN⊂平面CMN所以PB∥平面CMN2在平面PAB中因为AB⊥BPMN∥PB所以AB⊥MN因为ACPCM为PA的中点所以CM⊥PA又平面PAB⊥平面PAC平面PAB∩平面PACPA所以CM⊥平面PAB因为AB⊂平面PAB所以CM⊥AB又CM∩MNMCM⊂平面CMNMN⊂平面CMN所以AB⊥平面CMN-23-考点1考点2考点3考向一　平行与垂直关系的证明例32018江苏15在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中AA1ABAB1⊥B1C1求证1AB∥平面A1B1C2平面ABB1A1⊥平面A1BC思考处理平行与垂直关系的综合问题的主要数学思想是什么-24-考点1考点2考点3证明1在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中AB∥A1B1因为AB⊄平面A1B1CA1B1⊂平面A1B1C所以AB∥平面A1B1C2在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中四边形ABB1A1为平行四边形又因为AA1AB所以四边形ABB1A1为菱形因此AB1⊥A1B又因为AB1⊥B1C1BC∥B1C1所以AB1⊥BC又因为A1B∩BCBA1B⊂平面A1BCBC⊂平面A1BC所以AB1⊥平面A1BC因为AB1⊂平面ABB1A1所以平面ABB1A1⊥平面A1BC-25-考点1考点2考点3考向二　探索性问题中的平行与垂直关系例4如图在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是菱形∠DAB45°PD⊥平面ABCDPDAD1点E为AB上一点且点F为PD中点1若k求证直线AF∥平面PEC2是否存在一个常数k使得平面PED⊥平面PAB若存在求出k的值若不存在请说明理由思考探索性问题的一般处理方法是什么-26-考点1考点2考点3-27-考点1考点2考点3-28-考点1考点2考点3考向三　折

叠问题中的平行与垂直关系例5如图菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O点EF分别在ADCD上AECFEF交BD于点H将△DEF沿EF折到△DEF的位置1证明AC⊥HD思考折叠问题的处理关键是什么-29-考点1考点2考点3-30-考点1考点2考点3-31-考点1考点2考点3解题心得平行与垂直的综合应用问题的主要数学思想和处理策略1处理平行与垂直的综合问题的主要数学思想是转化要熟练掌握线线线面面面之间的平行与垂直的转化2探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明探索点的存在问题点多为中点或三等分点中的某一个也可以根据相似知识找点3折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系尤其是隐含着的垂直关系-32-考点1考点2考点3对点训练31如图四边形ABCD为梯形AB∥CDPD⊥平面ABCD∠BAD∠ADC90°DC2AB2DA-33-考点1考点2考点32如图①在Rt△ABC中∠ABC90°D为AC的中点AE⊥BD于点E不同于点D延长AE交BC于点F将△ABD沿BD折起得到三棱锥A1-BCD如图②所示①若M是FC的中点求证直线DM∥平面A1EF②求证BD⊥A1F-34-考点1考点2考点3∴BDDC2∵E为BC的中点∴BC⊥DE∵PD⊥平面ABCD∴BC⊥PD∵DE∩PDD∴BC⊥平面PDE∵BC⊂平面PBC∴平面PBC⊥平面PDE-35-考点1考点2考点3②∵PD⊥平面ABCD且PC3PF2证明①因为DM分别为ACFC的中点所以DM∥EF又EF⊂平面A1EFDM⊄平面A1EF所以DM∥平面A1EF②因为A1E⊥BDEF⊥BD且A1E∩EFE所以BD⊥平面A1EF又A1F⊂平面A1EF所以BD⊥A1F