高一数学课件：函数的单调性

1会从几何角度直观了解函数单调性与其导数的关系并会灵活应用2通过对函数单调性的研究加深对函数导数的理解提高用导数解决实际问题的能力增强数形结合的思维意识复习引入问题1怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性1．一般地对于给定区间上的函数fx如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1x2当x1ltx2时　1若fx1ltfx2那么fx在这个区间上是增函数　2若fx1gtfx2那么fx在这个区间上是减函数2．由定义 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 函数的单调性的一般步骤　1设x1x2是给定区间的任意两个值且x1ltx2　2作

差fx1－fx2并变形　3判断差的符号从而得函数的单调性例1讨论函数yx2－4x＋3的单调性解取x1ltx2∈Rfx1－fx2x12－4x1＋3－x22－4x2＋3x1x2x1－x2-4x1－x2x1－x2x1x2－4则当x1ltx2lt2时x1x2－4lt0fx1gtfx2那么yfx单调递减当2ltx1ltx2时x1x2－4gt0fx1ltfx2那么yfx单调递增综上yfx单调递增区间为2∞yfx单调递减区间为－∞2函数yx2－4x＋3的图象2yx00yx12-1-2单增区间-∞-1和1∞例2讨论

函数yx的单调性x1单减区间-10和01发现问题用单调性定义讨论函数单调性虽然可行但十分麻烦尤其是在不知道函数图象时例如yx32x2-x是否有更为简捷的方法呢下面我们通过函数的yx2－4x＋3图象来考察一下2yx0观察函数yx2－4x＋3的图象总结该函数在区间－∞2上单减切线斜率小于0即其导数为负在区间2∞上单增切线斜率大于0即其导数为正而当x2时其切线斜率为0即导数为0函数在该点单调性发生改变结论一般地设函数yfx在某个区间内可导则函数在该区间如果f′xgt0则fx为增函数如果f′xlt0则fx为

减函数注意如果在某个区间内恒有f′x0则fx为常数函数结论应用由以上结论可知函数的单调性与其导数有关即我们可以利用导数法去探讨函数的单调性现举例说明例3求函数fx2x3-6x27的单调区间解函数的定义域为Rf′x6x2-12x令6x2-12xgt0解得xlt0或xgt2则fx的单增区间为－∞0和2＋∞再令6x2-12xlt0解得0ltxlt2则fx的单减区间02注当x0或2时f′x0即函数在该点单调性发生改变总结根据导数确定函数的单调性一般需两步1确定函数fx的定义域2求出函数的导数3解不等式f′x

gt0得函数单增区间解不等式f′xlt0得函数单减区间例4求函数fxxlnx的单调区间解函数的定义域为xgt0fxxlnxxlnxlnx1当lnx1gt0时解得xgt1e则fx的单增区间是1e∞当lnx1lt0时解得0ltxlt1e则fx的单减区间是01e例5判定函数yex-x1的单调区间解fxex-1当ex-1gt0时解得xgt0则函数的单增区间为0∞当ex-1lt0时解得xlt0即函数的单减区间为-∞0例6讨论函数y的单调性2x-x2解函数的定义域为02y′解不等式y′gt0得0ltxlt1则函

数的单增区间为01解不等式y′lt0得1ltxlt2则函数的单减区间为122x-x21-x归纳总结1函数导数与单调性的关系若函数yfx在某个区间内可导如果f′xgt0则fx为增函数如果f′xlt0则fx为减函数2本节课中用导数去研究函数的单调性是中心能灵活应用导数解题是目的另外应注意数形结合在解题中应用巩固提高1证明方程x-sinx0只有一个实根x02当xgt0时证明不等式ltln1xltx成立21x1x布置练习作业P134练习12习题37---12作业求函数yx-2sinx0≤x≤2π单调区间