高数积分公式

null43换元积分法和分部积分法43换元积分法和分部积分法主要内容1换元积分法2分部积分法一换元积分法主要内容1第一换元积分法2第二换元积分法一换元积分法1第一换元积分法换元积分法分第一换元积分法和第二换元积分法两类求分析由于被积 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 cos3x是一个复合函数因此不能直接用基本积分公式解验证确实是cos3x的元函数上述方法正确1第一换元积分法例1null当不定积分不能用基本积分公式直接求出但被积 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式具有形式可作变量代换得而积分可以求出不妨设fu的原函数Fu于是有则作变量代换后有例1说明定理1第一换元积分法可得null在不定积分基本公式中若积分变量不是连续则公式仍成立例如自变量x而是中间变量u设运用第一换元积分法求不定积分的步骤1把被积函数分解为两部分因式相乘的形式其中一部分是2凑微分并作变量代换从而把关于积分变量x的不定积分转

化为关于新积分变量u的不定积分由定理1知null求把被积函数中的2x1看作新变量u即令求把被积函数中的看作新变量u即令例2解例3解u2x1得null把被积函数中的看作新变量u即令求第一换元积分法的关键是凑微分因而第一换元积分法又称为凑微分法例4解熟练以后新变量u可以省略不写null求解求解例5例6null求解由上例易得例7null求解类似地可得求解类似地可得例8例9null上述例5例9的结果可以当公式使用即基本积分公式二注意null求解求解例10和例11都是先凑微分后利用公式17和公式19求积分的例10例11注意null求解法一此解法是先将被积函数化为部分分式然后再凑微分求出结果例12注意null解法二解法二是将被积函数的分母配成完全平方再凑微分后应用公式20求出积分结果当公式比较熟悉时解法二比解法一简单因此由例12可知对被积函

数灵活地进行恒等变形综合应用积分性质和积分公式是求积分的必需的注意null求解法一解法二同一积分可有不同的解法其结果在形式上可能不同但实际上它们只相差一个常数例13注意2第二换元积分法第一换元积分法是通过变量代换将积分我们也常常会遇到相反的情形即适当选择变量代换将积分化为积分若则得另一种形式的换元积分法设fx连续的导数连续且若则定理中关于连续性的假设是为了保证有关的原函数存在关于的假设是为了保证能从解出t最终消去变量t2第二换元积分法定理2第二换元积分法null运用第二换元积分法的主要步骤从而将关于积分变量x的不定积分化为关于积分变量t的不定积分关键是存在反函数第二换元积分法主要解决被积函数中带根号的一类积分去根号是选的主要思路求令则于是例14解是作变量代换null求令则因此得例15解null求令此时于是由于所以于是例16解nu

ll求令则为了消去t还原为x除了可用例16的解析法外还可用三角形法即由作直角三角形如图从而易得于是例17解由null求令则于是根据作直角三角形如图从而得例18解null综合例17例18得公式求解第二换元积分法可以用来解决被积函数中带有根号的某些积分1当根号内含有x的一次函数如可分别令2当被积函数含有根式时可分别作三角代换例19二分部积分法分部积分法是与两个函数乘积的导数法则对应的积分法设函数uuxvvx具有连续导数因为两个函数乘积的导数为或对上式两边求不定积分得即或上述公式叫做分部积分公式二分部积分法null运用分部积分公式求不定积分的主要步骤是把被积函数fx分解为两部分因式相乘的形式其中一部分因式看作u另一部分因式看作v′而后套用公式把求不定积分的问题转化为求不定积分的问题null求应用公式代入公式得求设代入公式得在上例中如果

设于是有反而出现了比原积分更复杂的积分可见运用分部积分公式的关键是恰当选择例1解例2解注意null一般地选择的原则是2不定积分比原不定积分容易求出当被积函数是两种不同类型函数的乘积时我们可以按照反对幂指三即反三角函数对数函数幂函数指数函数三角函数的顺序选择排列次序在前的函数作为u而将排在后的另一个函数选作v′求把lnx看作udx看作dv用公式得例3解null求解当应用分部积分公式后得到的积分还需用分部积分公式时可以继续使用直到可以求出积分结果为止例4就是用了两次分部积分公式后才求出积分结果的例4注意null求解移项两边除以2并加积分常数得当两次应用分部积分法后又出现了原积分时我们是用解方程的方法求出积分结果的例5注意null求令代入原积分得有时我们需要综合应用前面讲过的各种积分方法如例6就综合应用了换元积分法分部积分法和直接积分

法例6解注意三小结1凑微分法凑微分法用于被积函数为的形式的积分凑微分后可直接应用积分公式要记住常见函数的凑微分公式凑微分就是把微分公式反过来用2第二换元积分法第二换元积分法对于我们来说主要用于去除被积函数中所含的根号当根号下是线性函数例如axb时作幂代换当根号下是x的二次函数时则作三角代换例如根号内是x2－a2时可令xsint作代换3分部积分法分部积分法用于被积函数为两类不同类型函数乘积的积分在用分部积分法时其中一个因子要看作u另一个因子要看作v′可以按照反对幂指三排在前面的顺序选择u三小结null作业习题43对于初等函数在其定义区间内它的原函数一定存在这并不意味着我们已会求所有初等函数的不定积分了例如对于初等函数等它们的原函数一定存在值得指出的是但却不能用初等函数表示出来有时称为积不出来它们的计算需要用其他方法来解决