余弦定理公式大全

4.6正弦、余弦定理解斜三角形建构知识结构1．三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,cos=sin,sin=cos（2）面积公式：S=absinC=bcsinA=casinBS=pr=(其中p=,r为内切圆半径)（3）射影定理：a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=acosB+bcosA2．正弦定理：证明：由三角形面积得画出三角形的外接圆及直径易得：3．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,；证明：如图ΔABC中，当A、B是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 证明。要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题．4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA<a<b时有两解；a=bsinA或a=b时有解；a<bsinA时无解。5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：　　（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力练习题1．(2006山东)在中，角的对边分别为，已知，则（）A.1B.2C.D.2．在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为（）A.B.C.D.3．（2002年上海）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.(2006全国Ⅰ)用长度

分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为()A.B.C.D.5.（2006全国Ⅱ）已知的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为_________.6.(2006春上海)在△中，已知，三角形面积为12，则.◆ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 :1-4.BBCB;3.由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.4.组成边长6,7,7时面积最大;5.;6.四、经典例题【例1】(2006天津)如图，在中，，，．（1）求的值；（2）求的值.解（Ⅰ）：由余弦定理，∴（Ⅱ）解：由，且得由正弦定理:解得。所以，。由倍角公式，且，故.◆解读思想：已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制.【例2】在ΔABC中，已知a=,b=,B=45°，求A,C及边c．解：由正弦定理得：sinA=,因为B=45°<90°且b<a,所以有两解A=60°或A=120°(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°，c=,(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15°，c=◆解读思想：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论．【例3】(2006上海)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救(​http:​/​​/​wxc.833200.com​/​​)甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到）？[解]连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700(​ht

tp:​/​​/​wxc.833200.com​/​​)于是,BC=10(​http:​/​​/​wxc.833200.com​/​​)∵,∴sin∠ACB=,∵∠ACB<90°∴∠ACB=41°∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援(​http:​/​​/​wxc.833200.com​/​​)点拨纠正:把实际问题转化为解斜三角形问题，在问题中构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；【例4】已知⊙O的半径为R，，在它的内接三角形ABC中，有成立，求△ABC面积S的最大值．解：由已知条件得．即有，又　　∴．∴当时,．◆思路方法:1.边角互化是解三角形问题常用的手段．一般有两种思路：一是边化角；二是角化边。2.三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．【研讨.欣赏】（2006江西）如图,已知△是边长为的正三角形,、分别是边、上的点,线段经过△的中心.设.(1)试将△、△的面积(分别记为与)表示为的函数;(2)求的最大值与最小值.解:(1)因为为边长为的正三角形的中心,所以由正弦定理因为,所以当时,的最大值;当时,的最小值.提炼 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 1．掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理；2．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。4．边角互化是解三角形的重要手段．4.6正弦、余弦定理解斜三角形【选择题】1.（2004浙江）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分

条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.（2004全国Ⅳ）△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于()A.B.1+C.D.2+3..下列条件中，△ABC是锐角三角形的是()A.sinA+cosA=B.·＞0C.tanA+tanB+tanC＞0D.b=3，c=3，B=30°4.(2006全国Ⅰ)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则()A.B.C.D.【填空题】5.（2004春上海）在中，分别是、、所对的边。若，，，则__________6.在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______.练习简答：1-4.BBCB;1.在△ABC中，A＞30°0＜sinA＜1sinA＞；sinA＞30°＜A＜150°A＞30°答案：B2.2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.由S=acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.得cosB====，解得b=1+.答案：B3.由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.答案：C5.2;6.若c最大，由cosC＞0.得c＜.又c＞b－a=1，∴1＜c＜.【解答题】7.（2004春北京）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值.剖析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理.由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值.解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac.又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc

.在△ABC中，由余弦定理得cosA===，∴∠A=60°.在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，∴=sin60°=.解法二：在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB.∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB.∴=sinA=.评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.8.（2005春北京）在△ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tanA的值和△ABC的面积.解法一：∵sinA+cosA=cos（A－45°）=，∴cos（A－45°）=.又0°＜A＜180°，∴A－45°=60°，A=105°.∴tanA=tan（45°+60°）==－2－.∴sinA=sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=.∴S△ABC=AC·ABsinA=·2·3·=（+）.解法二：∵sinA+cosA=，①∴（sinA+cosA）2=.∴2sinAcosA=－.∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0.∴90°＜A＜180°.∵（sinA－cosA）2=1－2sinAcosA=，∴sinA－cosA=.②①+②得sinA=.①－②得cosA=.∴tanA==·=－2－.（以下同解法一）9.（2004全国Ⅱ）已知锐角△ABC中，sin（A+B）=，sin（A－B）=.（1）求证：tanA=2tanB；（2）设AB=3，求AB边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：∵sin（A+B）=，sin（A－B）=，∴=2.∴tanA=2tanB.（2）解：＜A+B＜π，

∴sin（A+B）=.∴tan（A+B）=－，即=－.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB=（负值舍去）.得tanB=，∴tanA=2tanB=2+.设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，所以AB边上的高为2+.评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.10.在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状.分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a=，所以,化简得a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cosA=0.【探索题】已知A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+.（1）若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y的最小值.解：（1）∵y=cotA+=cotA+=cotA+=cotA+cotB+cotC，∴任意交换两个角的位置，y的值不变化.（2）∵cos（B－C）≤1，∴y≥cotA+=+2tan=（cot+3tan）≥=.故当A=B=C=时，ymin=.评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC中，求证：cotA+cotB+cotC≥.可由三数的均值不等式结合cotA+cotB+cotC=cotAcotBcotC来证.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）_10_A_?_20_C_B30°授课：XXX授课：XXX授课：XXX