2019年全国初中数学联赛试题及详解

2019年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.若均为整数且满足，则    （ B ）A．1.B．2.   C．3.   D．4.解：由已知可推得或，分别代入即得。2．若实数满足等式，，则可能取的最大值为  （ C）A．0.B．1.   C．2.   D．3.解：由已知，，∴.3．若是两个正数，且则                 （ C ）A．.B．.  C．. D．.解：当时，可计算得，从而。观察4个选项，只能选C.4．若方程的两根也是方程的根，则的值为（ A ）A．－13.     B．－9.  C．6.   D．0.解：由已知：一定能被整除。∵∴，故5．在△中，已知，D，E分别是边AB，AC上的点，且，，,则 ( B )A．15°.B．20°.  C．25°.   D．30°.解：如图，由已知，ADE是正三角形。作BF∥DE交AC于F，则BD＝EF，从而EC＝DE+BD＝AB＝BF，DE＝FC，又∠1＝∠2＝120○，故ΔEDC≌ΔFCB.故

.∵∠CDB＝2，∠BDE＝120○，∴，故由，得：.6．对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，则                   （ D ）A．28062.B．28065.  C．28067.   D．28068.解：将0，1，2，…，999这1000个自然数分为500个数组：（0，999）、（1，998）、（2，997）、…、（499，500）.注意到：这500个数组中，每个数组的两个自然数各位数字之和均为9＋9＋9＝27，故0，1，2，…，999这1000个自然数各位数字之和等于.于是，1000，1001，1002，…，1999这1000个自然数各位数字之和等于13500＋1000＝14500.从而.显然：，故：.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数满足方程组则13。解：2．二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C．已知，，则．解：如图，由已知可推得：，设，则，由.3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，

则PB＝．解：见上图。4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放15个球.解：先画一个“初始图”：○A B C D E ○ A B C D E ○按照题目要求，逐一确定各个字母的颜色，得到：○○○○D ○○○○○D ○显然，D应为黑色。即：○○○○●○○○○○●○再按要求尝试增加小球，确定最后结果如下：○○○○●○○○○○●○○○○第二试（A）一．（本题满分20分）设整数（）为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解由已知等式可得①令，则，其中均为自然数.于是，等式①变为，即②由于均为自然数，判断易知，使得等式②成立的只有两组：和（1）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超

过30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.证明 过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.因为CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP.又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.又因为MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线.又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，故PD是⊙I的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数的图象经过两点P，Q.（1）如果都是整数，且，求的值.（2）设二次函数的图象与轴的交点为A、B，与轴的

交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数，求△ABC的面积.解点P、Q在二次函数的图象上，故，，解得，.（1）由知解得.又为整数，所以，，.(2)设是方程的两个整数根，且.由根与系数的关系可得，，消去，得，两边同时乘以9，得，分解因式，得.所以或或或解得或或或又是整数，所以后面三组解舍去，故.因此，，，二次函数的解析式为.易求得点A、B的坐标为（1,0）和（2,0），点C的坐标为（0,2），所以△ABC的面积为.第二试（B）一．（本题满分20分）设整数为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.解不妨设，由已知等式可得①令，则，其中均为自然数.于是，等式①变为，即②由于均为自然数，判断易知，使得等式②成立的只有两组：和（1）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长

不超过30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.  三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.  第二试（C）一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设是大于2的质数，k为正整数．若函数的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．解由题意知，方程的两根中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得，从而有①（1）若，则方程为，它有两个整数根和．（2）若，则.因为为整数，如果中至少有一个为整数，则都是整数.又因为为质数，由①式知或．不妨设，则可设（其中m为非零整数），则由①式可得，故，即．又，所以，即②如果m为正整数，则，，从而，与②式矛盾.如果m为负整数，则，，从而，与②式矛盾.因此，时，方程不可能有整数根．综上所述，．