必修二--立体几何复习+经典例题

一、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明1、判定线面平行的方法1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个　　平面平行3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行,则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义:没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两面平行3垂直于同一直线的两个平面平行４、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行,则一个平面上的任一直线平行于另一平面３、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线,必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、定义:如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法1、定义:成角2、直线和平面垂直,则该线与平面内任一直线垂直3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直,它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法1、定义：两面成直二面角,则两面垂直2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质1、二面角的平面角为2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、相交平面同垂直于第三个平面,则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１、异面直线所成的角的取值范围是：　　　　　　2、直线与平面所成的角的取值范围是:3、斜线与平面所成的角的取值范围是：　　４、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是:十、三角形的心1、内心:内切圆的圆心,角平分线的交点2、外心:外接圆的圆心,垂直平分线的交点3、重心:中线的交点4、垂心：高的交点【例题分析】例２在四棱锥P－AＢCD中,底面ABCD是平行四边形，M，N分别是ＡＢ,PC的中点,求证:ＭN∥平面PAD.　【分析】要证明“线面平行”,可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件,因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明．证明：方法一,取PD中点E，连接ＡE,NＥ.∵底面ABCD是平行四边形，M,Ｎ分别是AB，PC的中点,∴MA∥CＤ，∵E是PD的中点,∴NE∥CD，∴MA∥ＮＥ,且MA=NE,∴AＥNＭ是平行四边形,∴MN∥AE．又AE平面ＰＡD，MＮ　平面PAD，∴MN∥平面PAＤ.方法二取CD中点F，连接MＦ,NF.∵ＭF∥AD，NF∥PD,∴平面MNF∥平面PAＤ,∴MＮ∥平面PAD．【评述】关于直线和平面平行的问题,可归纳如下方法:（１）证明线线平行：ａ∥c,b∥c，a∥α,aβα∥βａ⊥α，b⊥αα∩β＝b∩α＝a,∩β=ｂａ∥ba∥ba∥bａ∥b(2)证明线面平行：a∩α＝a∥bα∥βbα,aαaβａ∥αa∥αａ∥α(３)证明面面平行：α∩β＝a∥β，b∥βa⊥α，ａ⊥βα∥，β∥ａ，bα，a∩b＝Aα∥βα∥βα∥βα∥β例3　在直三棱柱ＡBC－A1B１C1中，ＡＡ１=AC，AＢ⊥AC,求证:A1C⊥BC1.　　　　【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明A1C垂直于经过BC１的平面即可.证明：连接ＡC１.∵ABＣ－A1B1C1是直三棱柱，∴AA１⊥平面AＢＣ,∴AB⊥ＡＡ１.又AB⊥AC，∴AB⊥平面A1ACC1，∴Ａ1C⊥AB．①又AA１=AC，∴侧面A1ACＣ1是正方形，∴Ａ1Ｃ⊥ＡＣ1.②由①，②得A1C⊥平面ＡBC１，∴A1Ｃ⊥BC1．【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的．如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“ＡB⊥ＡC”都要将其向“线面垂直”进行转化.例４在三棱锥Ｐ－ABＣ中,平面PＡB⊥平面ABＣ，ＡB⊥BC，AP⊥PB，求证:平面PAＣ⊥平面PＢC．【分析】要证明“面面垂直”,可通过“线面垂直”进行转化,而“线面垂直”又　可以通过“线线垂直”进行转化.证明:∵平面PＡB⊥平面AＢC，平面PAＢ∩平面AＢＣ＝ＡB，且ＡＢ⊥BC，∴ＢC⊥平面PAB，∴AP⊥BC.又ＡP⊥PB,∴ＡＰ⊥平面PＢC,又AＰ平面PＡＣ,∴平面PAC⊥平面ＰＢC.【评述】关于

直线和平面垂直的问题,可归纳如下方法:（1)证明线线垂直:a⊥c，ｂ∥c，a⊥αbαa⊥ba⊥b(１）证明线面垂直:a⊥m，a⊥na∥ｂ，b⊥αα∥β，a⊥βα⊥β，α∩β=lm,nα,m∩n＝Aaβ，a⊥la⊥αａ⊥αa⊥αa⊥α(１)证明面面垂直:a⊥β，aαα⊥β例5　如图，在斜三棱柱ＡBC－A１B1Ｃ１中,侧面A1ABB1是菱形,且垂直于底面ＡBC，∠A１ＡＢ=６０°，E，F分别是ＡB1，ＢC的中点.（Ⅰ)求证：直线EF∥平面Ａ１ACC1;(Ⅱ)在线段ＡB上确定一点Ｇ，使平面ＥFG⊥平面ABＣ，并给出证明.证明:（Ⅰ)连接A1Ｃ，A1Ｅ.∵侧面A1ABＢ1是菱形,E是AB1的中点,∴E也是A1B的中点，又F是BC的中点，∴EF∥A1C.∵A１C平面A1ACC１，ＥＦ平面Ａ１ACC１，∴直线EF∥平面A１ACC1.(2)解：当时,平面EＦＧ⊥平面ABC,证明如下:连接EG，FG.∵侧面A１ABＢ1是菱形,且∠A1AB=60°,∴△A1AＢ是等边三角形.∵E是A1B的中点,，∴EG⊥ＡB．∵平面A１ABＢ１⊥平面ABＣ，且平面A1ABＢ1∩平面ABC=AB,∴EG⊥平面ＡBC．又EＧ平面EFG，∴平面EFG⊥平面ＡＢC.例6　如图，正三棱柱ABC－A1B1C１中，E是AC的中点．(Ⅰ)求证：平面BEＣ1⊥平面ACＣ1Ａ1;(Ⅱ)求证:AＢ1∥平面ＢEC1.【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考.证明：（Ⅰ)∵ABC-Ａ1Ｂ1C1是正三棱柱，∴AA1⊥平面ＡBＣ,∴BE⊥AA1．∵△ABC是正三角形，E是AC的中点，∴BE⊥AC,∴ＢＥ⊥平面ACC1A1,又BE平面BEＣ1,∴平面ＢEC１⊥平面ＡCC1Ａ1.(Ⅱ)证明：连接B1Ｃ,设BC1∩Ｂ1Ｃ＝D．∵BCC１B１是矩形，D是B1C的中点,　　∴DE∥AB1.又DE平面BＥＣ1,ＡB1平面ＢEＣ1,∴AB１∥平面BEC1．例7在四棱锥P－AＢＣD中,平面ＰＡD⊥平面ABCD,ＡB∥DC,△PAD是等边三角形,已知ＢＤ＝2AD＝８，.　　(Ⅰ)设M是PC上的一点,证明：平面MＢD⊥平面ＰAＤ；(Ⅱ)求四棱锥P－ABCD的体积.【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M是PC上的动点分析知,MB，MＤ随点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD内“不动”的直线BD是否垂直平面ＰAD．证明：(Ⅰ)在△ABＤ中,由于AD=4，ＢＤ=８,，所以AＤ2+ＢD２＝ＡB２．故AD⊥BＤ.又平面ＰAD⊥平面ＡBCＤ,平面ＰAD∩平面ＡBＣD=ＡD，BD平面AＢCD,所以ＢD⊥平面ＰＡD，又BD平面MBD,故平面MBD⊥平面ＰＡD．(Ⅱ)解:过P作PＯ⊥AＤ交ＡD于O，由于平面PAＤ⊥平面AＢCD,所以PO⊥平面AＢＣＤ．因此PO为四棱锥P-ABＣD的高，又△PAＤ是边长为4的等边三角形.因此在底面四边形ABCＤ中，AB∥DC，AＢ＝2DC,所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ＡDB中，斜边AB边上的高为,即为梯形ＡBＣD的高，所以四边形ABCD的面积为故9.如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点，，是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图５所示的三棱锥,其中．(1）证明:／/平面;(2)　证明:平面;(3)当时,求三棱锥的体积.　　9.【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】（1)在等边三角形中,　,在折叠后的三棱锥中也成立，，平面,平面,平面;(2)在等边三角形中,是的中点,所以①,.在三棱锥中,,②　;(3)由(１）可知,结合（２)可得.4.如图,四棱锥Ｐ—AＢCＤ中,ABCD为矩形,△PAD为等腰直角三角形，∠AＰＤ=９０°，面ＰAD⊥面AＢＣＤ，且ＡＢ＝1,AD＝2，E、Ｆ分别为PＣ和BD的中点.（1)证明：EF∥面ＰAD;（2）证明：面ＰDC⊥面ＰAＤ；（３)求四棱锥P—ABCD的体积．4.如图,连接ＡＣ，∵AＢCD为矩形且F是BＤ的中点，∴ＡC必经过Fﻩﻩ１分又E是PC的中点，所以，EF∥ＡPﻩ2分∵EＦ在面PＡD外，PA在面内，∴EＦ∥面PＡDﻩﻩﻩ(2)∵面ＰAD⊥面ＡBCD，CD⊥ＡD,面ＰAＤ面ABCD=AD，∴CD⊥面PＡＤ，又AP面ＰAD,∴AP⊥ＣDﻩﻩﻩﻩﻩ又∵AP⊥PＤ,PＤ和CD是相交直线，AP⊥面PCDﻩﻩ又AD面PAD,所以，面PDC⊥面ＰADﻩﻩﻩ（3)取AD中点为Ｏ,连接ＰＯ，因为面ＰAＤ⊥面ABCD及△ＰAD为等腰直角三角形，所以PO⊥面ＡＢＣＤ,即PO为四棱锥Ｐ—AＢCD的高ﻩﻩﻩﻩﻩ∵ＡD=2,∴PＯ＝1，所以四棱锥Ｐ—ABCD的体积1.如图,三棱柱ＡBC－Ａ1B１Ｃ1中,侧棱垂直底面，∠ACＢ＝９0°，AC=ＢC=AA1,D是棱AＡ1的中点(Ｉ)证明:平面ＢDC1⊥平面ＢDC（Ⅱ)平面ＢDＣ１分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比．1．　【解析】（Ⅰ)由题设知ＢC⊥,BＣ⊥ＡC，，∴面，　　又∵面，∴,由题设知,∴=,即,又∵,∴⊥面,　∵面，∴面⊥面;（Ⅱ）设棱锥的体积为，=１，由题意得，＝=,由三棱柱的体积=１，∴＝１:1,∴平面分此棱柱为两部分体积之比为１:1.CBADC1A1