弹簧振子实验报告

弹簧振子实验报告一引言●实验目的1测定弹簧的刚度系数stiffnesscoefficient2研究弹簧振子的振动特性验证周期公式3学习处理实验数据●实验原理一根上端固定的圆柱螺旋弹簧下端悬一重物后就构成了弹簧振子当振子处于静止状况时重物所受的重力与弹簧作用于它的弹性恢复力相平衡这是振子的静止位置就叫平衡位置如用外力使振子离开平衡位置然后释放则振子将以平衡位置为中心作上下振动实验研究表明如以振子的平衡位置为原点x0则当振子沿铅垂方向离开平衡位置时它受到的弹簧恢复力F在一定的限度内与振子的位移x成正比即1式中的比例常数k称为刚度系数stiffnesscoefficient它是使弹簧产生单位形变所须的载荷这就是胡克定律式1中的负号表示弹性恢复力始终指向平衡位置当位移x为负值即振子向下平移时力F向上这里的力F表示弹性力与重力mg的综合作用结果根据牛顿第二定律如振子的质量为m在弹性力作用下振子的运动方程为2令上式可化为一个典型的二阶常系数微分方程其解为33式表明弹簧振子在外力扰动后将做振幅为A角频率为的简谐振动式中的称为相位称为初相位角频率为的振子其振动周期为可得44式表示振子的周期与其质量弹簧刚度系数之间的关系这是弹簧振子的最基本的特性弹簧振子是振动系统中最简单的一种它的运动特性振幅相位频率周期是所有振动系统共有的基本特性研究弹簧振子的振动是

认识更复杂震动的基础弹簧的质量对振动周期也有影响可以证明对于质量为的圆柱形弹簧振子周期为5式中称为弹簧的等效质量即弹簧相当于以的质量参加了振子的振动非圆柱弹簧如锥形弹簧的等效质量系数不等于13我们选用短而轻的弹簧并配备适当重量的砝码组成振子是实验条件与理论比较相符在此基础上测振子周期考察振子质量和弹簧刚度系数对周期的影响再将所得结果与理论公式比较并探讨实验中存在的问题●实验仪器装置游标高度尺电子天平弹簧砝码秒表二实验步骤1测弹簧质量和刚度系数先测出弹簧的质量和刚度系数测量时要分清弹簧的标记色避免测周期是把数据弄混弹簧的刚度系数可用静力平衡法测定即在悬挂好的弹簧下端逐次加挂砝码设其质量为然后取为自变量为因变量作直线拟合斜率b的绝对值即为弹簧的刚度系数也可对拟合做出直线斜率再乘以g9801m为测准应选一能正确反映弹簧伸长的标志线或面而且要保证高度尺能方便地校准实验中砝码和弹簧质量要求读到001g2对同一弹簧测不同振子质量时的周期验证之间的规律选一弹簧测量5或6个不同质量下的振动周期每次固定读取连续100个或50个周期的时间间隔同一质量下测3次取其平均值来计算结果实验前预先拟好数据表格5式改写为方程6对测量数据作以为自变量m为因变量的最小二乘法直线拟合可由直线的斜率与截距求得刚度系数k与弹簧的质量3对几乎相同的振子质量测不同弹簧的周期验证之

间的规律砝码质量可选定大于0300kg的某合适值用不同弹簧测量振子周期每次测量仍固定读取连续100个或50个周期的时间间隔同一弹簧测3次周期取其平均值作为结果不同弹簧的振子总等效质量可能略有不同下面的数据处理中计算总振子质量时近似的统一加上弹簧平均质量的13经过分析可以得知这样不同弹簧的振子总等效质量与近似值的差别不大于015折合成的等效周期测量误差不大于008即使不对质量因素进行修正其影响也不太大方程5可以变换成7可对测量数据作以为自变量为因变量进行直线拟合三数据分析1砝码质量与弹簧质量其中质量测量的不确定度均为00001g 砝码编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 砝码质量g 1031 1049 1021 1007 1039 1026 1034 1024 1016                    表1砝码的质量 带标记的弹簧 无较小 红色 黄色 橙色 蓝色 无较大 质量g 3016 3320 3460 3923 4072 4361              表2弹簧的质量2测量弹簧的k值其中长度测量的不确定度均为表中长度单位均为mm读数指弹簧最下端在游标高度尺上的读数 悬挂砝码数 0 4 5 6 7 8 9 悬挂砝码总质量g 0 4107 5145 6172 7206 8230 9246 0 0403 0504 060

5 0706 0807 0906 无较小弹簧读数 4034 3768 3699 3627 3554 3476 3408 红色弹簧读数 4023 3802 3708 3614 3522 3431 3337 黄色弹簧读数 4045 3895 3804 3683 3550 3428 3306 橙色弹簧读数 3757 3157 2998 2842 2672 2525 2360 蓝色弹簧读数 3812 3203 3033 2860 2670 2505 2335 无较大弹簧读数 3695 2865 2647 2418 2198 1964 1730                表3悬挂不同砝码的各弹簧读数下面是以读数为自变量为因变量进行直线拟合所得的图像R209991图1无较小弹簧mg-xR20981图2红色弹簧的mg-x图3黄色弹簧的mg-xR209173R209996图4橙色弹簧的mg-xR209983图5蓝色弹簧的mg-xR209991图6无较大弹簧mg-x由拟合直线的斜率可以求得各弹簧的刚度系数见下表 弹簧 无较小 红 黄 橙 蓝 无较大 刚度系数kNm 1441 1279 1098 6483 6089 4613              表4各弹簧的刚度系数3对同一弹簧测不同振子质量时的周期验证之间的规律选定蓝色的弹簧测量不同振子质量时

的周期如下表 砝码个数 3 4 5 6 砝码质量g 309998 410674 514543 617169 50个周期时间1秒 2800 3091 3365 3622 50个周期时间2秒 2797 3087 3366 3616 50个周期时间3秒 2803 3097 3369 3622 平均每个周期时间秒 0560 0618 0673 0724 秒2 0314 0382 0453 0524          表5同一弹簧测不同振子质量时的周期以为自变量为因变量进行线性拟合得到下图R209999图7m-拟合直线由直线可得m-满足线性关系由斜率计算蓝色弹簧得刚度系数为5772Nm由截距算的蓝色弹簧的质量为4449g4对几乎相同的振子质量测不同弹簧的周期验证之间的规律选定4个砝码不变换用不同的弹簧测得周期数据如下表 弹簧 50个周期时间1秒 50个周期时间2秒 50个周期时间3秒 平均每个周期时间秒 红 1279 2549 2188 2193 2190 0438 -0826 黄 1098 2396 2210 2206 2203 0441 -0819 橙 6483 1869 2900 2900 2900 058 -0545 蓝 6089 1806 3091 3087 3097 0618 -0481 无较大 4613 1529 3519

3516 3516 0703 -0352                图8不同弹簧的之间的规律R209835四误差分析1测量弹簧的k值的误差分析见下表 弹簧 无较小 红 黄 橙 蓝 无较大 刚度系数Nm 1441 1279 1098 6483 6089 4613 Γ 0018 0023 0029 0091 0103 0179 Δ 0010 0046 0095 0006 0014 0010 不确定度Nm 020 080 148 005 012 006              综上各弹簧的刚度系数见下表 弹簧 无较小 红 黄 橙 蓝 无较大 刚度系数Nm 1441±020 1279±080 1098±148 6483±005 6089±012 4613±006              2验证之间的规律的误差分析由上式得出所以由拟合直线计算蓝色弹簧的刚度系数为±这个结果与重力平衡法测得的刚度系数仍有一定差距可能是因为实验中长度读数误差或者弹簧的刚度系数在实验中发生改变造成的所以蓝色弹簧的质量3验证之间的规律的误差分析所以拟合直线的斜率为-04891该范围包括-05这个理论预计值说明实验很好的证实了与的线性关系五实验结论实验结论该实验通过重力平衡法测得了各弹簧的刚度系数研究了弹簧振子的运动特性验证了周期公式实验数据与理论符合的较好