高三数学复习课件：立体几何中的向量方法

87　立体几何中的向量方法-2-知识梳理双基自测234151直线的方向向量与平面的法向量1直线l上的非零向量e以及与　　　　　　的非零向量叫做直线l的方向向量 2如果表示非零向量n的有向线段所在直线　　　　　　平面α那么称向量n垂直于平面α记作　　　　此时把　　　　　　叫做平面α的法向量 e共线垂直于n⊥α向量n知识梳理-3-知识梳理双基自测234152线面关系的判定设直线l1的方向向量为e1a1b1c1直线l2的方向向量为e2a2b2c2平面α的法向量为n1x1y1z1平面β的法向量为n2x2y2z21如果l1∥l2那么e1∥e2⇔　　⇔　　　　　　　　　　 2如果l1⊥l2那么e1⊥e2⇔　　　　　　⇔　　　　　　　　 3若l1∥α则e1⊥n1⇔e1·n10⇔　　　　　　　　　　　　 4若l1⊥α则e1∥n1⇔e1μn1⇔　　　　　　　　　　　　 5若α∥β则n1∥n2⇔n1kn2⇔　　　　　　　　　　　　 6若α⊥β则n1⊥n2⇔n1·n20⇔　　　　　　　　　　　　 e2λe1　a2λa1b2λb1c2λc1e1·e20　a1a2b1b2c1c20a1x1b1y1c1z10a1μx1b1μy1c1μz1x1kx2y1ky2z1kz2x1x2y1y2z1z20知识梳理-4-知识梳理双基自测234153利用空间向量求空间角1两条异面直线所成的角①范围两条异面直线所成的角θ的取值范围是　　　　　　 ②向量求法设异面直线ab的方向向量为ab直线a与b的夹角为θa与b的夹角为φ则有cosθ　　　　 2直线与平面所成的角①范围直线和平面所成的角θ的取值范围是　　　　　　 ②向量求法设直线l的方向向量为a平面的法向量为u直线与平面所成的角为θa与u的夹角为φ则有sinθ　　　　或cosθsinφ cosφcosφ知识梳理-5-知识梳理双基自测234153二面角①范围二面角的取值范围是　　　　　　 ②向量求法若ABCD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱

l垂直的异面直线则设n1n2分别是二面角α-l-β的两个半平面αβ的法向量则图②中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的大小而图③中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的大小[0π]知识梳理-6-知识梳理双基自测23415知识梳理-7-知识梳理双基自测23415知识梳理2-8-知识梳理双基自测34151下列结论正确的打√错误的打×1直线的方向向量是唯一确定的　　2平面的单位法向量是唯一确定的　　3若两条直线的方向向量不平行则这两条直线不平行　　4若空间向量a平行于平面α则a所在直线与平面α平行　　5两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角　　答案答案关闭1×　2×　3√　4×　5×知识梳理-9-知识梳理双基自测234152教材习题改编P113T11在正三棱柱ABC-A1B1C1中ABAA1则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为　　答案解析解析关闭答案解析关闭知识梳理-10-知识梳理双基自测234153已知直三棱柱ABC-A1B1C1在空间直角坐标系中如图所示且CACC12CB则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为　　答案解析解析关闭答案解析关闭知识梳理-11-知识梳理双基自测234154在长方体ABCD-A1B1C1D1中AB2BCAA11则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为　　　　　 答案答案关闭知识梳理-12-知识梳理双基自测23415知识梳理-13-知识梳理双基自测234155已知P是二面角α-AB-β棱上的一点分别在平面αβ上引射线PMPN如果∠BPM∠BPN45°∠MPN60°那么二面角α-AB-β的大小为　　　　　 答案答案关闭90°知识梳理-14-知识梳理双基自测23415知识梳理-15-考点1考点2考点3例1如图所示平面PAD⊥平面ABCD四边形ABCD为正方形△PAD是直角三角形且PAAD2EFG分别是线段PAPDCD的中点求证PB∥平面EFG思考用向量法证明平行和垂直的常用方法有哪些核心考点-16-考点1

考点2考点3证明∵平面PAD⊥平面ABCD四边形ABCD为正方形△PAD是直角三角形∴ABAPAD两两垂直以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz则A000B200C220D020P002E001F011G120核心考点-17-考点1考点2考点3核心考点-18-考点1考点2考点3解题心得1用向量法证明平行类问题的常用方法核心考点-19-考点1考点2考点32用向量法证明垂直类问题的常用方法核心考点-20-考点1考点2考点3对点训练1如图在三棱锥P-ABC中ABACD为BC的中点PO⊥平面ABC垂足O落在线段AD上已知BC8PO4AO3OD21求证AP⊥BC2若点M是线段AP上一点且AM3试证明平面AMC⊥平面BMC核心考点-21-考点1考点2考点3证明1如图所示以点O为坐标原点分别以射线ODOP为y轴z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz则O000A0-30B420C-420P004核心考点-22-考点1考点2考点3核心考点-23-考点1考点2考点3例2如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1AD1E为CD的中点1求证B1E⊥AD12在棱AA1上是否存在一点P使得DP∥平面B1AE若存在求AP的长若不存在说明理由思考立体几何开放性问题的求解方法有哪些核心考点-24-考点1考点2考点3核心考点-25-考点1考点2考点3核心考点-26-考点1考点2考点3解题心得立体几何开放性问题的求解方法有以下两种1根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想找出点或线的位置然后加以证明得出结论2假设所求的点或线存在并设定参数表达已知条件根据题目要求进行求解若能求出参数的值且符合已知限定的范围则存在这样的点或线否则不存在本题是设出点P的坐标借助向量运算判定关于z0的方程是否有解核心考点-27-考点1考点2考点3对点训练2如图四棱锥S-ABCD的底面是正方形每条侧棱的长都是底面边长的倍P为侧棱SD上的点1求证AC⊥SD2若SD⊥平面PAC侧棱SC上是否存在

一点E使得BE∥平面PAC若存在求SE∶EC的值若不存在试说明理由核心考点-28-考点1考点2考点3核心考点-29-考点1考点2考点3核心考点-30-考点1考点2考点3考向一　利用空间向量求异面直线所成的角例3如图四边形ABCD为菱形∠ABC120°EF是平面ABCD同一侧的两点BE⊥平面ABCDDF⊥平面ABCDBE2DFAE⊥EC1证明平面AEC⊥平面AFC2求直线AE与直线CF所成角的余弦值思考如何利用向量法求异面直线所成的角核心考点-31-考点1考点2考点3核心考点-32-考点1考点2考点3从而EG2FG2EF2所以EG⊥FG又AC∩FGG可得EG⊥平面AFC因为EG⊂平面AEC所以平面AEC⊥平面AFC核心考点-33-考点1考点2考点3核心考点-34-考点1考点2考点3考向二　利用空间向量求直线与平面所成的角例42018全国Ⅰ理18如图四边形ABCD为正方形EF分别为ADBC的中点以DF为折痕把△DFC折起使点C到达点P的位置且PF⊥BF1证明平面PEF⊥平面ABFD2求DP与平面ABFD所成角的正弦值思考如何利用向量法求线面角核心考点-35-考点1考点2考点31证明由已知可得BF⊥PFBF⊥EF所以BF⊥平面PEF又BF⊂平面ABFD所以平面PEF⊥平面ABFD2解作PH⊥EF垂足为H由1得PH⊥平面ABFD建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz由1可得DE⊥PE核心考点-36-考点1考点2考点3核心考点-37-考点1考点2考点3考向三　利用空间向量求二面角的大小例5如图在四棱锥P-ABCD中AB∥CD且∠BAP∠CDP90°1证明平面PAB⊥平面PAD2若PAPDABDC∠APD90°求二面角A-PB-C的余弦值思考如何利用向量法求二面角核心考点-38-考点1考点2考点31证明由已知∠BAP∠CDP90°得AB⊥APCD⊥PD由于AB∥CD故AB⊥PD从而AB⊥平面PAD又AB⊂平面PAB所以平面PAB⊥平面PAD核心考点-39-考

点1考点2考点32解在平面PAD内作PF⊥AD垂足为F由1可知AB⊥平面PAD故AB⊥PF可得PF⊥平面ABCD核心考点-40-考点1考点2考点3设mxyz是平面PAB的法向量核心考点-41-考点1考点2考点3考向四　利用空间向量求点到平面的距离例6如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形平面MCD⊥平面BCDAB⊥平面BCDAB2求点A到平面MBC的距离思考如何利用向量法求点到平面的距离核心考点-42-考点1考点2考点3解如图取CD的中点O连接OBOM则OB⊥CDOM⊥CD又平面MCD⊥平面BCD所以MO⊥平面BCD以O为坐标原点直线OCBOOM分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形设平面MBC的法向量为nxyz核心考点-43-考点1考点2考点3核心考点-44-考点1考点2考点32利用向量法求线面角的方法1分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量转化为求两个方向向量的夹角或其补角2通过平面的法向量来求即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角取其余角就是斜线和平面所成的角核心考点-45-考点1考点2考点33利用向量法求二面角的方法1分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小2通过平面的法向量来求设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2则二面角的大小等于ltn1n2gt或π-ltn1n2gt应注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角核心考点-46-考点1考点2考点34利用向量法求点到平面的距离的方法核心考点-47-考点1考点2考点3对点训练31如图在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是矩形PA⊥底面ABCDE是PC的中点已知AB2AD2PA2求①△PCD的面积②异面直线BC与AE所成的角的大小 核心考点-48-考点1考点2考点3核心考点-49-考点1考点2考点3核心考点-50-考点1考点2考点3核心考点-51-考点1考点2考点3

2如图在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中AA1⊥平面ABCD且ABAD2AA1∠BAD120°①求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值②求二面角B-A1D-A的正弦值核心考点-52-考点1考点2考点32解在平面ABCD内过点A作AE⊥AD交BC于点E因为AA1⊥平面ABCD所以AA1⊥AEAA1⊥AD核心考点-53-考点1考点2考点3核心考点-54-考点1考点2考点33如图在四棱锥P-ABCD中底面ABCD为正方形平面PAD⊥平面ABCD点M在线段PB上PD∥平面MACPAPDAB4①求证M为PB的中点②求二面角B-PD-A的大小③求直线MC与平面BDP所成角的正弦值核心考点-55-考点1考点2考点3①证明设ACBD交点为E连接ME因为PD∥平面MAC平面MAC∩平面PDBME所以PD∥ME因为ABCD是正方形所以E为BD的中点所以M为PB的中点②解取AD的中点O连接OPOE因为PAPD所以OP⊥AD又因为平面PAD⊥平面ABCD且OP⊂平面PAD所以OP⊥平面ABCD因为OE⊂平面ABCD所以OP⊥OE因为ABCD是正方形所以OE⊥AD核心考点-56-考点1考点2考点3如图建立空间直角坐标系O-xyz核心考点-57-考点1考点2考点3核心考点-58-考点1考点2考点34如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中ACBCAA12∠ACB90°DEF分别为ACAA1AB的中点①求证B1C1∥平面DEF②求EF与AC1所成角的大小③求点B1到平面DEF的距离核心考点-59-考点1考点2考点3①证明在直三棱柱ABC-A1B1C1中B1C1∥BC∵DF分别是ACAB的中点∴FD∥BC∴B1C1∥FD又B1C1⊄平面DEFDF⊂平面DEF∴B1C1∥平面DEF②解建立如图所示的空间直角坐标系则C000A200B020A1202B1022C1002D100E201F110核心考点-60-考点1考点2考点3③解设向量nxyz是平面DEF的一个法向量核心考点