2019年中国数学奥林匹克(CMO)试题和详细解答

2019年中国数学奥林匹克(CMO)试题和详细解答2019中国数学奥林匹克解答一、给定锐角三角形PBC，．设A，D分别是边PB，PC上的点，连接AC，BD，相交于点O.过点O分别作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，线段BC，AD的中点分别为M，N．（1）若A，B，C，D四点共圆，求证：；（2）若，是否一定有A，B，C，D四点共圆？ 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 你的结论．解（1）设Q，R分别是OB，OC的中点，连接EQ，MQ，FR，MR，则，又OQMR是平行四边形，所以，由题设A，B，C，D四点共圆，所以，于是图1，所以，故，所以EM＝FM，同理可得EN＝FN，所以．（2）答案是否定的．当AD∥BC时，由于，所以A，B，C，D四点不共圆，但此时仍然有，证明如下：如图2所示，设S，Q分别是OA，OB的中点，连接ES，EQ，MQ，NS，则，所以．①又，所以．②而AD∥BC，所以，③由①，②，③得．因为，，即，所以～，故（由②）．同理可得，，所以，从而．二

、求所有的素数对（p，q），使得．解：若，不妨设，则，故．由Fermat小定理，，得，即．易验证素数对不合要求，，合乎要求．若为奇数且，不妨设，则，故．当时素数对合乎要求，当时，由Fermat小定理有，故．由于为奇素数，而626的奇素因子只有313，所以．经检验素数对合乎要求．若都不等于2和5，则有，故．①由Fermat小定理，得，②故由①，②得．③设，，其中为正整数．若，则由②，③易知，这与矛盾！所以．同理有，矛盾！即此时不存在合乎要求的．综上所述，所有满足题目要求的素数对为，，，，，及．三、设m，n是给定的整数，，是一个正2n+1边形，．求顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数．解先证一个引理：顶点在P中的凸m边形至多有两个锐角，且有两个锐角时，这两个锐角必相邻．事实上，设这个凸边形为，只考虑至少有一个锐角的情况，此时不妨设，则，更有．而+，故其中至多一个为锐角，这就证明了引理．由引理知，若凸边形中恰有两个内角是锐角，

则它们对应的顶点相邻．在凸边形中，设顶点与为两个相邻顶点，且在这两个顶点处的内角均为锐角．设与的劣弧上包含了的条边（），这样的在固定时恰有对．（1）若凸边形的其余个顶点全在劣弧上，而劣弧上有个中的点，此时这个顶点的取法数为．（2）若凸边形的其余个顶点全在优弧上，取，的对径点，，由于凸边形在顶点，处的内角为锐角，所以，其余的个顶点全在劣弧上，而劣弧上恰有个中的点，此时这个顶点的取法数为．所以，满足题设的凸边形的个数为．四、给定整数，实数满足．求的最小值．解不妨设，则对，有，所以．当n为奇数时，．当n为偶数时，．所以，当n为奇数时，，当n为偶数时，，等号均在时成立．因此，的最小值为（n为奇数），或者（n为偶数）．五、凸边形中的每条边和每条对角线都被染为n种颜色中的一种颜色．问：对怎样的n，存在一种染色方式，使得对于这n种颜色中的任何3种不同颜色，都能找到一个三角形，其顶点为多边形的顶点，且它的3条边分别被染为这3种颜色？解当为奇数时，

存在合乎要求的染法；当为偶数时，不存在所述的染法。每3个顶点形成一个三角形，三角形的个数为个，而颜色的三三搭配也刚好有种，所以本题相当于要求不同的三角形对应于不同的颜色组合，即形成一一对应．我们将多边形的边与对角线都称为线段．对于每一种颜色，其余的颜色形成种搭配，所以每种颜色的线段（边或对角线）都应出现在个三角形中，这表明在合乎要求的染法中，各种颜色的线段条数相等．所以每种颜色的线段都应当有条．当为偶数时，不是整数，所以不可能存在合乎条件的染法．下设为奇数，我们来给出一种染法，并证明它满足题中条件．自某个顶点开始，按顺时针方向将凸边形的各个顶点依次记为．对于，按理解顶点．再将种颜色分别记为颜色．将边染为颜色，其中．再对每个，都将线段（对角线）染为颜色，其中．于是每种颜色的线段都刚好有条．注意，在我们的染色方法之下，线段与同色，当且仅当．①因此，对任何，任何，线段都不与同色．换言之，如果．②则线段都不与同色．任取两个三角形和，如果它

们之间至多只有一条边同色，当然它们不对应相同的颜色组合．如果它们之间有两条边分别同色，我们来证明第3条边必不同颜色．为确定起见，不妨设与同色．情形1：如果与也同色，则由①知，，将二式相减，得，故由②知不与同色．情形2：如果与也同色，则亦由①知，，将二式相减，亦得，亦由②知与不同色．总之，与对应不同的颜色组合．六、给定整数，证明：存在n个互不相同的正整数组成的集合S，使得对S的任意两个不同的非空子集A，B，数与是互素的合数．（这里与分别表示有限数集的所有元素之和及元素个数．）证我们用表示有限数集X中元素的算术平均．第一步，我们证明，正整数的n元集合具有下述性质：对的任意两个不同的非空子集A，B，有．证明：对任意，，设正整数k满足，①并设l是使的最小正整数．我们首先证明必有．事实上，设是A中最大的数，则由，易知A中至多有个元素，即，故．又由的定义知，故由①知．特别地有．此外，显然，故由l的定义可知．于是我们有．若，则；否则有，则．由于

是A中最大元，故上式表明．结合即知．现在，若有的两个不同的非空子集A，B，使得，则由上述证明知，故，但这等式两边分别是A，B的元素和，利用易知必须A=B，矛盾．第二步，设K是一个固定的正整数，，我们证明，对任何正整数x，正整数的n元集合具有下述性质：对的任意两个不同的非空子集A，B，数与是两个互素的整数．事实上，由的定义易知，有的两个子集，满足，，且．②显然及都是整数，故由上式知与都是正整数．现在设正整数d是与的一个公约数，则是d的倍数，故由②可知，但由K的选取及的构作可知，是小于K的非零整数，故它是的约数，从而．再结合及②可知d=1，故与互素．第三步，我们证明，可选择正整数x，使得中的数都是合数．由于素数有无穷多个，故可选择n个互不相同且均大于K的素数．将中元素记为，则，且（对），故由中国剩余定理可知，同余方程组，有正整数解．任取这样一个解x，则相应的集合中每一项显然都是合数．结合第二步的结果，这一n元集合满足问题的全部要求．