空间曲线曲率计算公式及推导

1.4空间曲线的曲率定义及计算公式引理设是单位圆周上的向量，即，设与之间的夹角记为，则有。 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 因为，所以。（用解等腰三角形或用余弦定理，得SKIPIF1<0。）定理1.2设曲线：（是弧长参数）上的每一点有一个单位向量，与之间的夹角记为，那么。设曲线：，这里参数是曲线自身的弧长，我们知道，是曲线的切向量，，即是单位向量。记，，与的夹角，度量了曲线的弯曲程度。，我们称之为曲线的曲率，用来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，。（举例解释，需要曲率这个量来刻画曲线；曲珑拐弯，拐弯抹角

的程度。）例1．直线可以用向量方程表示为，其中和为常向量，并且，这时切向量是常向量，从而，曲率。反之，如果，即，由此可知是常向量，进而解得，其中和为常向量。由此可知：直线的特征是。例2．讨论圆。（这是由于，而，，故圆的方程可表示为。）这时，，。于是，，即圆的曲率等于其半径的倒数。空间曲线曲率的计算公式：设曲线：，这里参数不必是弧长参数。我们有，，将以上两式的双方作向量外积，得，由于，，得，（即互相垂直）所以由于，所以，由此得出曲率公式。，把，代入曲率公

式，可得简便计算公式。例3求圆柱螺线，的曲率。解直接计算，得，，所以，，，，又，代入公式，得出曲率。它是一个常数，这与几何直觉是相符合的。平面曲线的曲率计算公式：设平面曲线L：。，所以，平面曲线L：的曲率。对曲线，此时，则曲率。若曲线由极坐标方程给出，且二阶可导。则可得由曲率公式，可计算：。代入，得曲率为。例6求心形线在处的曲率。解，代入公式，它在曲率为。空间曲线曲率公式的另一种证明 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：对光滑曲线：，，，，，严格递增，反函数存在，记为，把它代入；所以

，是的函数，这里参数是弧长参数。我们有，，。空间曲线的曲率（描述曲线的弯曲程度）。设曲线的参数方程为：，，，，并假设是光滑曲线，且，，连续，设，则曲率。设曲线：，这里参数不必是弧长参数。我们有，，；，，，，，，，，，，，由，代入计算，得，由此而来，由，得，故得空间曲线：的曲率，即。设平面曲线L：，所以，平面曲线L：的曲率。当曲线由方程给出时，此时，利用上式，，，，，故曲率。曲率半径：若光滑曲线在点处的曲率为，当时，称为曲线在处的曲率半径。（平面曲线的情

形，也有用几何图形给出的更方便直观的证法，见华东师大的书。）例1、求曲线的曲率的最大值。解由曲率的表达式，从而得的最大值为。例2、证明：若曲线的所有切线经过同一点，则该曲线是一条直线.证明证法一设曲线的切线经过，则有,于是，，假若，则，再由，得，矛盾，所以从而曲率，故曲线必为一条直线.证法二设曲线为，为弧长参数;所有切线经过的点为，则有，从而,由，得与正交，于是因为必有，所以为一条直线.例3、求椭圆上曲率最大和最小点.解由于.由公式，得.不妨设，于是在

（长轴端点）处曲率最大；而在、（短轴端点）处曲率最小；且.例4、由下述方程确定一条球面曲线：给定曲线上的一点求曲线在处的曲率.解曲线为;由条件得;再由,得;,，，,,,代入曲率公式，计算,得.例5、设函数具有连续二阶偏导数，且，则等高线（为常数）的曲率为.解设由所确定的隐函数为，于是，求导得，从而，再求导可得，代入曲率公式，计算得,;直接验证，可知，，，故有.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好评与关注！）