一种二维非稳态导热问题的数值解法

第卷第期石油化工高等学校学报年月随月冶皿污旧卯一种二维非稳态导热问题的数值解法杨泽茂江苏石油化工学院江苏常州句摘耍在采用当圣第三类边界条件基破上依据交替方向德式沪乃法导出了适合于三类边界条件的二维非德态导热问通的差分方程式这些方程式及相应的租序为类似的传热问题的求解提供了方便关健词二维非德态导热边界条件八法中图分类号二维非稳态导热问题的数值解已有了比较充分的研究但这些研究基本上是针对一些具体的边界条件进行的因此当需要求解另一些边界条件下的问题时一般必须补充相应的子程序才能够得到问题的解本文从提高计算方法及其对应程序的通用性角度出发在合理地选择边界条件处理方法的基础上用交替方向隐式法导出了类边界条件通用的二维非稳态导热问题的温度场计算式编制了计算机程序并进行了计算能量方程和定解条件在二维直角坐标系中对于物性参数为常数无内热源的非稳态导热问题的能量守恒方程可表示为丫一尹沙一矛一口一一lsquo一一初始条件们卜价middot设物体边界上的换热条件有以下种类型已知边界温度第一类边界条件已知边界面上的热流密度第二类边界条件③已知边界面上的对流换热系数ldquo与流体温度伟三类边界条件其中为温度℃为导温系数砂舟为时间ldquo兀可以为常量也可以是时间的函数为简单起见设为常量数值计算方法为了求解上述问题首先利用控制容积法冈导出内部节点边界节点及角点的有限差分方程使其形式适合球解方法然后用追赶法或称法求解现具体说明如下收稿日期卯一一作者女岁硕士现从事于内凝结换热的计算研究第期杨泽茂一种二维非稳态导热问题的数值解法气几矩形区域离散情况如图所示伪简单起见设△△按照交替方向隐式法能方程式对内部节点的离散化方程为气今一爪筹」比」叭爪朔卿礴一不留尽不雪召门一劝十rsquo门十不扛rsquo哟不伙一卿不叱臼平型下劝定一洲一下刀ldquolsquo甘州rsquorsquo内一劝十lsquo周欢己rsquo一劝十rdquo不弘lsquo仁丈lsquo尽今式中双尸布rsquo周及不犷rdquo分别为节点在时刻二lsquo二必石月盖月匀日幼叫卫匕仍幼曰廿臀上川义入一厂middot一卜一弓一一一一一图区城离散化示意图及时的温度为当求解的问题包含了前述的类边界条件时为了导出边界节点及角点在类边界条件下通用的离散化方程现分别将第一二类边界条件转化为当量第三类边界条件阎第一类边界条件的当第类边界条件为一兀二第二类边界条件的当第类边界条件为今又于是现在可以只就第三类边界条件导出边界节点及角点的离散化方程沿方向追赶时相应于边界节点尽及角点在前半个时间步的离散化方程分别为不十rsquo口一不几十rsquo周一不罗不叭不梦簇成北一一不允士沙公冲丁rsquo周一不弘周一叮了卿刃簇簇一不伙十一不呈十rsquo尽一不给爪全零lsquo刃式中为无里纲参数也称为网格毕漫数叻尽二ldquo从厂ldquomiddot毛兀分别为边界面及上的流体温度沿方向追赶时对应于其他边界节点及角点的离散化方程类似沿方向追赶时对边界节点尽几及角点在后半个时间步的离散化方程分别为一不全之不飞rdquo一叮军丁梦一功十rsquo口不竺rsquo口成成一不一场写一一不允

lsquo堪件俨匕尹瑞司lsquo一lsquo不允rdquo一叱rdquo一冲rsquo口不孟网刃类似地可得到沿方向追赶时的与其他边界节点及角点相对应的离散化方程式由以上各式可以看出当采用交替方向隐式格式离散时每个节点方程最多只有石油化工离等学校学报第卷个待求变同时每行或每列的节点方程组的系数矩阵将是对角线矩阵因此这些方程组很容易用追赶法求解求解步骤如下利用厂之值逐行求解由每行节点方程组筋笼诚助对角线方程组剥导沙十rsquo门泛值利用产ldquo十rsquo周之值逐列求解由每列节点方程组所形成的对角线方程组求得沙rsquo之值如果计算的时间步达到给定值或后一个时间步的ldquolsquo之值与前一个时间步的洲幻之值小于给定的数值即到达稳定状态则所得出的rsquo之值为所求否则由新的尸lsquo十rdquo之值代替洲代重复步以后的计算直至达到要求计算程序略计算实例肋片是工程技术中广泛应用的用以强化传热的一种表面形式矩形截面肋片的导热问题是一个二维间题五心月指出当几数砧尽小于时将上述二维问题作为一维问题求解所引人的误差小于左右本计算中取自首先应用本文所述的数值法按二维问题计算了图所示的矩形截面直肋的稳态温度场然后又由一维分析解得出了该肋片中的温度分布在前一种情况下计算区域的边界条件假设为肋根温﹃次一兀峨气度为定值对称面为绝热肋端部及下表面为第三类边界条件设初始时刻整个肋片的温度等于周围流体温度计算结果列于表二中表二维肋片中的温度分布矛月了八口︸︸方向节点戈方向节盆二二一⋯可可可田田田田田田田伪田卯卯卯势卯口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口卯印以盯工肠肠肠肠久兀田肋片导热分析以纵弧对比表的数据可以看出当动尽时矩形截面肋片的导热问题可作为一维问愚对待此时由二维数值解算得的肋效率为对应表一维肋片中的温度分布方向节点一丁一一万一一万一一一不一万石以妇肠的ldquo昨兑的一维分析解的肋效率为二者仅相差由上述情况可看到本文所述方法是求解任意给定的类边界条件下的二维非稳态导热问题的一种很有效的方法结束语本文给出了二维非稳态导热问题在类边界条件下的一种计算方法在该方法中由于采用了第一二类边界条件的当童化从而在不需补充算式及子程序的情况下提高了第期杨泽茂一种二维非稳态导热问题的数值解法计算方法对变化的边界条件的适应能力同时由于使用了交替方向隐式法这就保证了计算格式的无条件稳定因此它可适用于二维非稳态导热间题包括有内热源问题的数值计算参考文献陆金甫关治偏橄分方程数值解法北京清华大学出版社男加郭宽良等计算传热学合肥中国科学技术大学出版社一伪印工夕咖茂详刀明压甲找班孙越成巧刀扣笼巧丘叮庆泊往笼卯址一拐豆泛在以五山够翎介以如血于短幼尤抽翔七以了祝如刃叨再口够到肠攀人ldquo心句劲区巧侣吨此叫面珑山初以业叮由幻此曰比坦欧戈由运甲址证朋记阁山压川往叮叫姐山留山幼城过谙川认幻一艺留沁耐仪面扮汾仃田圈七衍由山艘苗场由刀心℃闪ldquo吐沁记正址扣睐习此口」匆也田圈拙叮山留始记认幻一山吐曰圈拓口目纽加虹改山山戏拙山闭