高中数学求几何体外接球和内切球的半径练习题（含答案）

求几何体外接球和内切球的半径一．基础梳理1.求几何体的外接球方法综述：遇直必径，径垂过心；“阳马”、“鱉臑”，实为方体；对棱相等，体面角线；两直共斜，斜为球径；三角垂面，三心矩形；“正锥”、“正柱”，两心直角。参考图形：（1）正四棱锥与圆锥内接于球：解“两心三角形”。（2）正三棱柱内接于球、圆柱内接于球：解“两心三角形”。2.三棱锥的内切球半径的求法：已知三棱锥的内切球半径为，则三棱锥的体积为：二．题型分解：题型一：遇直必径，径垂过心；遇直必径：球面上的三点如果构成直角三角形，则斜边必然是截面的直径。径垂过心：过截面直径与截面垂直的平面必然经过球心；过截面圆心与截面垂直的直线经过球心，即为球的直径。例1、如图，网格纸上小正方形的边长为1，某几何体的三视圈如图所示，则该几何体的外接球 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积为()A.B.C.D.略解：，，.。解得，。例2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为_______。略解：平面ABCD过小圆直径AB，且平面ABCD⊥平面PAB，所以球心必为矩形ABCD的中心，对角线BD即为球的直径，题型二：“阳马”、“鱉臑”，实为方体：（1）“阳马”：是指具有公共端点两两垂直的三条线段；（2）“鳖臑”：是指连接两条互相垂直的异面直线的端点的线段是两条异面直线的公垂线段。实为方体：三条线段的长即为长方体的长、宽、高。例3、（2017届广州一模，10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．（1）若三棱锥为鳖臑,⊥平面,，,三棱锥的四个顶点都在球的球面上,则球的表面积为（）A.B.C.D.略解：如图，三棱锥P-ABC四个面都是直角三角形，可以补型构造长方体。。（

也可以类比例2求解）（2）若四棱锥为阳马，⊥平面,，,四棱锥的五个顶点都在球的球面上,则球的表面积为（）A.B.C.D.略解：四棱锥可补形成长方体，例4、三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（）　A．　　　B．　　　C．　　D．8略解：如图，补型构造长方体，易得例5、(2017·太原一模)平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′­BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′­BCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)A．3πB．πC．4πD．π略解：线段构成“鱉臑”，所以题型三：对棱相等，体面角线。对棱相等：四面体的三组对棱分别对应相等。体面角线：这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。例7、在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为________。略解：如图，补型构造长方体。，。题型四：两直共斜，斜为球径。两直共斜：两个直角三角形有公共斜边；斜为球径：公共斜边即为外接球的直径。例8、在四面体中，，，，则四面体的外接球的体积为（）....略解：与有共同斜边，即为球的直径。，，。题型五：三角垂面，三心矩形；三角垂面：两个三角形所在的平面互相垂直；三心矩形：两个三角形的外心，球心（三心）及两三角形的公共边中点构成一个矩形。例6、已知三棱锥的侧面垂直于底面，，，，且△为正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．略解一：，，，。略解二：利用公式“”求解，其中、分别是和的外接圆半径，是互相垂直的两个三角形的公共边的长。题型六：“正锥”、“正柱”，两心直角。“正锥”、“正柱”：正棱锥（含圆锥）、“正棱柱”（含圆柱）内接于球；两心直角：

底面外接圆圆心，球心（两心）及底面的一个顶点构成直角三角形。例7、在正三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）A．　B.　C.4　D.略解：在直角中，，.所以，.在直角中，，即，解得，.例8、已知正三棱柱的各棱长都等于，其外接球的半径为，则.略解：，，.题型七：利用正弦定理求小圆半径：例9、若三棱锥P-ABC四个顶点都在球O上，若PA=PB=PC=5，AB=4，∠ACB=150°则球O半径为（）A3B4CD略解：因为，所以在平面内的射影是的外心。设圆的半径为，，.，，，.例10、若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，，，则球的表面积为________。略解：由余弦定理可得，.，所以，..题型八：求椎体的内切球半径例11、在正四棱锥S-ABCD中，侧面与底面所成的角为，则它的外接球半径R与内切球半径之比为（）A.5B.C.10D.略解：设正方形的边长为2，因为侧面与地面所成的角为，所以,斜高，则，.在中，，即，解得.而，解得.所以.三、对点精炼：1．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB＝3,AC＝4,AB⊥AC,AA1＝12,则球O的半径为(　　)A.B．2C.D．3略解：（遇直必径，径垂过心）矩形的对角线即为球的直径.球O的半径R＝2．【2018南阳第一中学】已知三棱锥的四个顶点均在某球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.略解：，，，.所以，，.3．已知三棱锥中，，，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A．B．C．D．略解：（对棱相等，体面角线），，.4．在四边形中，，，，，现将沿折起，得三棱锥，若三棱锥的四个

顶点都在球的球面上，则球的体积为A．B．C．D．，略解：（两直共斜，斜为球径），，所以，所以为球的直径，，..5．已知三棱锥，是直角三角形，其斜边平面，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．[来略解：（阳马、鱉臑，实为方体）这个三棱锥中，两两垂直，“阳马”结构.，所以.6．【2019四川乐山四校联考*模型法】如图，在等腰梯形中，,为中点.将与分别沿、折起，使、重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（）A.B.C.D.略解：（正锥、正柱，两心直角）折叠后所得的几何体是各棱长均为1的正四面体.，，，在中，，，所以.7．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，E为对角线BD的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若∠PEC=120°，则三棱锥P﹣BCD的外接球的表面积为（　）A．28πB．32πC．16πD．12π略解：（径垂过心）如图，分别是的外心，为球心，，，，，，所以..8．已知四棱锥的顶点都在球上，底面是矩形，平面平面，为正三角形，,则球的表面积为A.B.C.D.[来源:Zxxk.Com]略解：（三角垂面，三心矩形），，，。9．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．略解：球心是的中点，连接，因为所以，因为平面平面，所以.，解得.所以.10．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑中，，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为_____.[来略解：（阳马、鱉臑，实为方体）设三棱锥的外接球半径为，内切球的半径为..所以，解得.所以外接球和内切球的表面积之和为.1/1