初中二次函数讲解。全面解析。知识点总结

初中二次函数讲解定义与定义表达式　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：　　y=ax²+bx+c　　（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。|a|还可以决定开口大小,|a|越大开口就越小,|a|越小开口就越大。）　　则称y为x的二次函数。　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。　　x是自变量，y是x的函数二次函数的三种表达式　　①一般式：y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)　　②顶点式[抛物线的顶点(h，k)]：y=a(x-h)²+k　　③交点式[仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线]：y=a(x-x₁)(x-x₂)以上3种形式可进行如下转化：　　①一般式和顶点式的关系　　对于二次函数y=ax²+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b²)/4a)，即　　h=-b/2a=(x1+x2)/2　　k=(4ac-b²)/4a　　②一般式和交点式的关系　　x1,x2=[-b±√(b²-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)二次函数的图像　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，　　可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。抛物线的性质　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b²)/4a)　　

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b²-4ac=0时，P在x轴上。　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。　　|a|越大，则抛物线的开口越小。　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。【因为由它的对称抽决定即，—b/2a】　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。　　抛物线与y轴交于（0，c）　　6.抛物线与x轴交点个数【二次函数与一元二次方程的关系】　　Δ=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。　　Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。　　_______　　Δ=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b²－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）　　当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b²/4a}相反不变　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax²+c(a≠0)　　7.定义域：R　　值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b²)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）　　奇偶性：偶函数【关于点对称的函数是奇函

数，关于一条轴对称的是偶函数】　　周期性：无　　解析式：　　①y=ax^2+bx+c[一般式]　　⑴a≠0　　⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；　　⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b²)/4a）；　　⑷Δ=b²-4ac,　　Δ＞0，图象与x轴交于两点：　　（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；　　Δ＝0，图象与x轴交于一点：　　（-b/2a，0）；　　Δ＜0，图象与x轴无交点；　　②y=a(x-h)²+t[配方式]　　此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b²)/4a）；二次函数与一元二次方程　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c，　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），　　即ax²+bx+c=0　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。　　1．二次函数y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：　　解析式　　y=ax²　　y=a(x-h)²　　y=a(x-h)²+k　　y=ax²+bx+c　　顶点坐标　　(0，0)　　(h，0)　　(h，k)　　(-b/2a，sqrt[4ac-b²]/4a)　　对称轴　　x=0　　x=h　　x=h　　x=-b/2a　　　　当h>0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得

到，　　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象；　　当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；　　当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；　　当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；　　因此，研究抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)²+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．　　2．抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．　　3．抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小．　　4．抛物线y=ax²+bx+c的图象与坐标轴的交点：　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；　　(2)当△=b²-4

ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x₁,x₂是一元二次方程ax^2+bx+c=0　　(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x₂-x₁|另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A|（A为其中一点的横坐标）　　当△=0．图象与x轴只有一个交点；　　当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．　　5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．　　6．用待定系数法求二次函数的解析式　　(1)当 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：　　y=ax²+bx+c(a≠0)．　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)．　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．　　7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）授课：XXX授课：XXX授课：XXX